Vi har

$$f(x) = \frac{e^x}{e^x + C}$$

a) Topp- eller bunnpunkt?

Vi deriverer $f$ med kvotientregelen:

$$f'(x) = \frac{e^x(e^x + C) - e^x \cdot e^x}{(e^x + C)^2} = \frac{C e^x}{(e^x + C)^2}$$

For et topp- eller bunnpunkt må $f'(x) = 0$, dvs.

$$C e^x = 0$$

Siden $e^x > 0$ for alle $x$, krever dette $C = 0$. Men hvis $C = 0$ er $f(x) = \frac{e^x}{e^x} = 1$ (konstant), og det finnes heller ingen ekstremalverdi i vanlig forstand.

For $C \neq 0$ har $f'(x) = 0$ ingen løsning. Grafen til $f$ har ingen topp- eller bunnpunkt for noen verdi av $C$.

b) Vendepunkt

Vi deriverer $f'(x)$ på nytt. Med $f'(x) = C e^x (e^x + C)^{-2}$ bruker vi produktregelen:

$$f''(x) = \frac{C e^x(e^x+C)^2 - Ce^x \cdot 2(e^x+C)e^x}{(e^x+C)^4} = \frac{Ce^x\bigl[(e^x+C) - 2e^x\bigr]}{(e^x+C)^3} = \frac{Ce^x(C - e^x)}{(e^x+C)^3}$$

For vendepunkt setter vi $f''(x) = 0$:

$$Ce^x(C - e^x) = 0$$

Siden $e^x > 0$ gir dette enten $C = 0$ (ingen interessant tilfelle) eller $C - e^x = 0$, dvs.

$$e^x = C \implies x = \ln C$$

Dette krever $C > 0$ (siden $\ln C$ bare er definert for $C > 0$, og $e^x > 0$ aldri kan være negativ).

Vi sjekker at fortegnet til $f''$ faktisk skifter i $x = \ln C$ når $C > 0$:

• For $x < \ln C$: $e^x < C$, så $C - e^x > 0$, og $C > 0$ gir $f''(x) > 0$
• For $x > \ln C$: $e^x > C$, så $C - e^x < 0$, og $f''(x) < 0$

Fortegnet skifter, så grafen har et vendepunkt i $x = \ln C$ når $C > 0$. For $C \leq 0$ finnes ingen vendepunkt.

c) Translasjon når $C > 0$

Vi regner ut $f(x + \ln C)$ for $C > 0$:

$$f(x + \ln C) = \frac{e^{x + \ln C}}{e^{x + \ln C} + C} = \frac{e^x \cdot e^{\ln C}}{e^x \cdot e^{\ln C} + C} = \frac{C e^x}{C e^x + C} = \frac{C e^x}{C(e^x + 1)} = \frac{e^x}{e^x + 1}$$

Altså er $f(x + \ln C) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$, som er $f$ med $C = 1$.

Dette betyr at grafen til $f$ er den samme kurven som for $C = 1$, men forskjøvet $\ln C$ enheter i negativ $x$-retning (til venstre for $C > 1$, til høyre for $0 < C < 1$). Formen på grafen endres ikke — bare posisjonen langs $x$-aksen.

d) Når $C < 0$

Nevneren $e^x + C = 0$ når $e^x = -C$, dvs. $x = \ln(-C)$. Her er $f$ ikke definert, og grafen har en vertikal asymptote i $x = \ln(-C)$.

$f'(x) = \dfrac{Ce^x}{(e^x+C)^2}$: telleren $Ce^x < 0$ (siden $C < 0$) og nevneren $(e^x+C)^2 > 0$, så $f'(x) < 0$ overalt der $f$ er definert. Funksjonen er altså strengt avtagende på begge grener.

Når $C$ endres (fortsatt $C < 0$), forskyves asymptoten $x = \ln(-C)$ horisontalt — mot høyre når $|C|$ øker. Grafens form (to avtagende grener med vertikal asymptote) er den samme for alle $C < 0$.