Finner tangeringspunktene

En tangent til grafen til $f$ i punktet $x_0$ har stigningstall $f^{\prime }(x_0)$. Vi deriverer $f$:

Tangentene skal være parallelle med linjen $y=\frac{1}{2}x+2$, som har stigningstall $\frac{1}{2}$. Vi løser derfor likningen $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}$:

Grafen har altså to tangeringspunkter, i $x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$ og $x_0=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Finner tangeringspunktenes $y$-verdier

Setter opp tangentlikningene

En tangent i punktet $(x_0,f(x_0))$ med stigningstall $\frac{1}{2}$ har likningen

For $x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

For $x_0=-\frac{\sqrt{2}}{2}$:

Finner nullpunktene til tangentene

Nullpunktet finner vi ved å sette $y=0$ og løse med hensyn på $x$:

For $x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

For $x_0=-\frac{\sqrt{2}}{2}$:

De to tangentene har altså nullpunktene $\underline{\underline{𝒙=2+\sqrt{2}}}$ og $\underline{\underline{𝒙=2-\sqrt{2}}}$.