Tallregning, likningssystem, ulikhet og alderslikning for tre jenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut

8 + 2 \cdot 3 - 3^{2} - {(10 - 12)}^{2}

\frac{9^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- 3}}{{(3^{- 2})}^{3}}

Regn ut og skriv svaret på standardform $5,5 \cdot 10^{5} \cdot 6,0 \cdot 10^{6}$

Løs likningssystemet

[\begin{matrix} x + 2 y & = 16 \\ 3 x - y & = 6 \end{matrix}]

Løs likningen grafisk $2 x - 3 = 6 - \frac{1}{4} x$

Løs ulikheten $- x^{2} - x + 12 \geq 0$

Faktoriser og forkort $\frac{- x^{2} - x + 12}{x^{2} - 9}$

I klasse 1A er det 20 elever. 15 av elevene spiller fotball, og 10 spiller håndball. Én elev spiller verken fotball eller håndball.

Fra klassen velger vi tilfeldig én av elevene som spiller fotball.

Bestem sannsynligheten for at denne eleven i tillegg spiller håndball.

Siri, Karen og Marit er til sammen 26 år. Marit er tre ganger så gammel som Siri var for fire år siden. Karen er halvparten så gammel som Marit.

Sett opp en likning som du kan bruke for å finne ut hvor gamle Siri, Karen og Marit er. Løs likningen. Hvor gamle er hver av de tre jentene?

Rettvinklet trekant ABC med rett vinkel i A, AB = 3 og vinkel B = 45°

Vis at $B C = 3 \sqrt{2}$

Vis at $\cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Fasit

1) $1$

$81$

$3,3 \cdot 10^{12}$

$x = 4, y = 6$

$x = 4, y = 5$

$- 4 \leq x \leq 3$

$- \frac{x + 4}{x + 3}$

$P = 0,4$

$Siri: 8 år, Karen: 6 år, Marit: 12 år$

1) $B C = 3 \sqrt{2}$

$\cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi følger regnerekkefølgen — parentes, potens, deretter multiplikasjon og til slutt addisjon/subtraksjon:

8 + 2 \cdot 3 - 3^{2} - {(10 - 12)}^{2} = 8 + 6 - 9 - 4 = 1

Vi skriver om $9^{\frac{1}{2}}$ som $3$ og bruker potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ og $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ :

\frac{9^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- 3}}{{(3^{- 2})}^{3}} = \frac{3 \cdot 3^{- 3}}{3^{- 6}} = \frac{3^{- 2}}{3^{- 6}} = 3^{- 2 - (- 6)} = 3^{4} = 81

Vi multipliserer tallene og potensene hver for seg, og justerer til standardform:

5,5 \cdot 10^{5} \cdot 6,0 \cdot 10^{6} = 33 \cdot 10^{11} = 3,3 \cdot 10^{12}

[\begin{matrix} x + 2 y & = 16 \\ 3 x - y & = 6 \end{matrix}]

Fra den andre likningen løser vi for $y$ : $y = 3 x - 6$ . Vi setter dette inn i den første likningen:

\begin{matrix} x + 2 (3 x - 6) & = 16 \\ x + 6 x - 12 & = 16 \\ 7 x & = 28 \\ x & = 4 \end{matrix}

Vi setter $x = 4$ inn i $y = 3 x - 6$ :

y = 3 \cdot 4 - 6 = 6

Løsningen er $x = 4, y = 6$ .

Å løse likningen grafisk betyr å finne skjæringspunktet mellom grafene til $f (x) = 2 x - 3$ og $g (x) = 6 - \frac{1}{4} x$ . Skjæringspunktet er der de to uttrykkene er like, så vi løser likningen $f (x) = g (x)$ :

\begin{matrix} 2 x - 3 & = 6 - \frac{1}{4} x \\ 8 x - 12 & = 24 - x (multiplisert med 4) \\ 9 x & = 36 \\ x & = 4 \end{matrix}

Vi setter $x = 4$ inn i $f (x) = 2 x - 3$ :

y = 2 \cdot 4 - 3 = 5

Grafene skjærer hverandre i punktet $(4, 5)$ .

- x^{2} - x + 12 \geq 0

Vi multipliserer begge sider med $- 1$ og snur ulikhetstegnet:

x^{2} + x - 12 \leq 0

Vi faktoriserer venstre side. Vi trenger to tall som gir sum $1$ og produkt $- 12$ : det er $4$ og $- 3$ .

(x + 4) (x - 3) \leq 0

Uttrykket er en oppoverbue parabel med nullpunkter i $x = - 4$ og $x = 3$ , og er negativ eller null mellom nullpunktene. Løsningen er

- 4 \leq x \leq 3

Telleren kjenner vi igjen fra oppgave e). Vi faktoriserer teller og nevner:

Teller: - x^{2} - x + 12 = - (x^{2} + x - 12) = - (x + 4) (x - 3)

Nevner: x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

Vi setter inn og forkorter felles faktor $(x - 3)$ :

\frac{- (x + 4) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = - \frac{x + 4}{x + 3}, x \neq 3, x \neq - 3

Av $20$ elever spiller $1$ verken fotball eller håndball, så $19$ elever spiller minst én av idrettene. Vi bruker at

| F \cup H | = | F | + | H | - | F \cap H |

19 = 15 + 10 - | F \cap H | \Rightarrow | F \cap H | = 6

Vi velger en tilfeldig elev blant de $15$ som spiller fotball. Sannsynligheten for at eleven også spiller håndball, er

P (H | F) = \frac{| F \cap H |}{| F |} = \frac{6}{15} = 0,4

La $s$ , $k$ og $m$ være alderen til henholdsvis Siri, Karen og Marit.

“Marit er tre ganger så gammel som Siri var for fire år siden”: $m = 3 (s - 4)$

“Karen er halvparten så gammel som Marit”: $k = \frac{m}{2}$

“Til sammen 26 år”: $s + k + m = 26$

Vi setter de to første uttrykkene inn i den siste likningen:

s + \frac{3 (s - 4)}{2} + 3 (s - 4) = 26

Vi multipliserer alle ledd med $2$ for å bli kvitt brøken:

\begin{matrix} 2 s + 3 (s - 4) + 6 (s - 4) & = 52 \\ 2 s + 3 s - 12 + 6 s - 24 & = 52 \\ 11 s - 36 & = 52 \\ 11 s & = 88 \\ s & = 8 \end{matrix}

Da er $m = 3 (8 - 4) = 3 \cdot 4 = 12$ og $k = \frac{12}{2} = 6$ .

Kontroll: $8 + 6 + 12 = 26$ ✓

Siri: 8 år, Karen: 6 år, Marit: 12 år

Trekanten $A B C$ har rett vinkel i $A$ og $∠ B = 45 °$ . Siden vinkelsummen i en trekant er $180 °$ , er

∠ C = 180 ° - 90 ° - 45 ° = 45 °

Siden $∠ B = ∠ C$ , er trekanten likebeint med $A C = A B = 3$ . Pytagoras’ setning gir

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 3^{2} + 3^{2} = 18

B C = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}

Cosinus til vinkel $B$ er forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen:

\cos 45 ° = \cos B = \frac{A B}{B C} = \frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2012, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 18
Temaer: Tallregning, Potenser, Standardform, Likningssystem, Andregradsulikhet, Rasjonale uttrykk, Betinget sannsynlighet, Trigonometri

Tallregning, likningssystem, ulikhet og alderslikning for tre jenter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tallregning, likningssystem, ulikhet og alderslikning for tre jenter

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tallregning, likningssystem, ulikhet og alderslikning for tre jenter

Tallregning, likningssystem, ulikhet og alderslikning for tre jenter

Lov på eksamen

Temaer