Sparing og uttak med geometriske rekker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Eirik vil spare penger fram til han blir pensjonist. Han ønsker å spare 40 000 kroner i året i 15 år framover. Han planlegger å gjøre sitt første innskudd 1. juli 2018.

Eirik forventer at den årlige avkastningen vil være 5 % i hele perioden.

Sett opp en geometrisk rekke som viser hvor stort beløp Eirik har på kontoen ett år etter siste innbetaling. Bruk CAS til å vise at summen av denne rekken er $906\,299{,}67$ kroner.

Eirik vurderer tre alternative måter å disponere pengene på.

I resten av oppgaven antar vi at den årlige avkastningen vil være 5 % per år i all framtid.

Hvor stor blir den årlige utbetalingen med alternativ I?

Hvor stor blir den årlige utbetalingen med alternativ II?

Når er kontoen til Eirik tom dersom han følger planen i alternativ III?

Fasit

$\underline{\underline{906\,299{,}67 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{X \approx 83\,157 \, \mathrm{kr}}}$ per år (forskuddsvis annuitet)

$\underline{\underline{B \approx 43\,157 \, \mathrm{kr}}}$ per år (evig fond, forskuddsvis)

Kontoen er tom i 2052

LøsningsforslagKI-generert

Første innskudd er 1. juli 2018, siste innskudd er 1. juli 2032 – det er 15 innskudd totalt. Ett år etter siste innbetaling er 1. juli 2033.

Innskuddet fra 1.7.2018 har da stått i 15 år og er vokst til $40\,000 \cdot 1{,}05^{15}$ . Innskuddet fra 1.7.2019 har stått i 14 år og er vokst til $40\,000 \cdot 1{,}05^{14}$ , og så videre. Innskuddet fra 1.7.2032 har stått i 1 år og er vokst til $40\,000 \cdot 1{,}05^{1}$ .

Summen er en geometrisk rekke:

S = 40\,000 \cdot 1{,}05^{15} + 40\,000 \cdot 1{,}05^{14} + \cdots + 40\,000 \cdot 1{,}05^{1}

S = 40\,000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^{15} - 1}{1{,}05 - 1}

Vi bruker CAS til å beregne summen (linje 2 i utklippet, K0) og får $S = \underline{\underline{906\,299{,}67 \, \mathrm{kr}}}$ .

CAS-utregning for sparing og uttak

Med alternativ I tas beløpet ut i 15 like store beløp, første uttak 1. juli 2033 – samme dato som kapitalen $K_0 = 906\,299{,}67$ kr er beregnet.

Siden første uttak skjer på kapitalens tidspunkt (forskuddsvis annuitet), er nåverdien av uttakene:

K_0 = X \cdot \left(1 + \frac{1}{1{,}05} + \frac{1}{1{,}05^2} + \cdots + \frac{1}{1{,}05^{14}}\right)

CAS løser likningen (linje 3 i utklippet, AltI) og gir $X = 83\,157{,}13$ .

Det årlige uttaket med alternativ I er $\underline{\underline{X \approx 83\,157 \, \mathrm{kr}}}$ .

Merk: Tolker man «fra og med 2033» som at første uttak skjer ett år etter at kapitalen er på konto (etterskuddsvis), blir $X \approx 87\,315$ kr. Oppgaven sier eksplisitt at første uttak er 1. juli 2033, som er kapitalens tidspunkt, og løsningen over er i tråd med det.

Med alternativ II betales det ut et fast beløp $B$ hvert år i all framtid, første gang 1. juli 2033. Kapitalen $K_0 = 906\,299{,}67$ kr er tilgjengelig samme dag.

Siden første utbetaling skjer på kapitalens tidspunkt (forskuddsvis), er saldoen etter utbetaling $K_0 - B$ . Denne saldoen vokser med 5 % til neste år, og for at fondet skal vare evig må saldoen da igjen være $K_0$ :

(K_0 - B) \cdot 1{,}05 = K_0 \implies B = K_0 \cdot \frac{0{,}05}{1{,}05}

B = 906\,299{,}67 \cdot \frac{0{,}05}{1{,}05}

Det gir (linje 4 i utklippet, AltII)

B = 906\,299{,}67 \cdot \frac{0{,}05}{1{,}05} = 43\,157{,}13

Den årlige utbetalingen med alternativ II er $\underline{\underline{B \approx 43\,157 \, \mathrm{kr}}}$ (forskuddsvis).

Merk: Hadde første utbetaling skjedd ett år etter kapitalens tidspunkt (etterskuddsvis), ville svaret blitt $B = K_0 \cdot 0{,}05 \approx 45\,315$ kr.

Med alternativ III trekker Eirik ut 30 000 kr i 2033, og øker uttaket med 10 % hvert år. Kontoen vokser med 5 % per år. Vi simulerer saldoen år for år:

År	Saldo før uttak	Uttak	Saldo etter uttak × 1,05
2033	906 299,67	30 000	920 114,65
2034	920 114,65	33 000	931 470,39
…	…	…	…
2051	194 540,43	166 797,52	29 130,05
2052	29 130,05	183 477,27	—

I 2052 er saldoen 29 130 kr, mens planlagt uttak er 183 477 kr. Kontoen har ikke nok penger til å gjennomføre uttaket — kontoen er tom i 2052.

$\underline{\underline{\text{Kontoen er tom i 2052.}}}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Geometrisk rekke, Sparing, Rekker, Økonomi

Sparing og uttak med geometriske rekker

Sync på tvers av enheter

Sparing og uttak med geometriske rekker

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave