Sparing og uttak med geometriske rekker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Eirik vil spare penger fram til han blir pensjonist. Han ønsker å spare 40 000 kroner i året i 15 år framover. Han planlegger å gjøre sitt første innskudd 1. juli 2018.

Eirik forventer at den årlige avkastningen vil være 5 % i hele perioden.

Kalkulator

Sett opp en geometrisk rekke som viser hvor stort beløp Eirik har på kontoen ett år etter siste innbetaling. Bruk CAS til å vise at summen av denne rekken er $906 299,67$ kroner.

Eirik vurderer tre alternative måter å disponere pengene på.

I resten av oppgaven antar vi at den årlige avkastningen vil være 5 % per år i all framtid.

Kalkulator

Hvor stor blir den årlige utbetalingen med alternativ I?

Kalkulator

Hvor stor blir den årlige utbetalingen med alternativ II?

Kalkulator

Når er kontoen til Eirik tom dersom han følger planen i alternativ III?

Fasit

$906 299,67 kr$

$X \approx 83 157 kr$ per år (forskuddsvis annuitet)

$B \approx 43 157 kr$ per år (evig fond, forskuddsvis)

Kontoen er tom i 2052

LøsningsforslagKI-generert

Første innskudd er 1. juli 2018, siste innskudd er 1. juli 2032 – det er 15 innskudd totalt. Ett år etter siste innbetaling er 1. juli 2033.

Innskuddet fra 1.7.2018 har da stått i 15 år og er vokst til $40 000 \cdot {1,05}^{15}$ . Innskuddet fra 1.7.2019 har stått i 14 år og er vokst til $40 000 \cdot {1,05}^{14}$ , og så videre. Innskuddet fra 1.7.2032 har stått i 1 år og er vokst til $40 000 \cdot {1,05}^{1}$ .

Summen er en geometrisk rekke:

S = 40 000 \cdot {1,05}^{15} + 40 000 \cdot {1,05}^{14} + \dots + 40 000 \cdot {1,05}^{1}

S = 40 000 \cdot 1,05 \cdot \frac{{1,05}^{15} - 1}{1,05 - 1}

Vi bruker CAS til å beregne summen (linje 2 i utklippet, K0) og får $S = 906 299,67 kr$ .

CAS-utregning for sparing og uttak

Med alternativ I tas beløpet ut i 15 like store beløp, første uttak 1. juli 2033 – samme dato som kapitalen $K_{0} = 906 299,67$ kr er beregnet.

Siden første uttak skjer på kapitalens tidspunkt (forskuddsvis annuitet), er nåverdien av uttakene:

K_{0} = X \cdot (1 + \frac{1}{1,05} + \frac{1}{{1,05}^{2}} + \dots + \frac{1}{{1,05}^{14}})

CAS løser likningen (linje 3 i utklippet, AltI) og gir $X = 83 157,13$ .

Det årlige uttaket med alternativ I er $X \approx 83 157 kr$ .

Merk: Tolker man «fra og med 2033» som at første uttak skjer ett år etter at kapitalen er på konto (etterskuddsvis), blir $X \approx 87 315$ kr. Oppgaven sier eksplisitt at første uttak er 1. juli 2033, som er kapitalens tidspunkt, og løsningen over er i tråd med det.

Med alternativ II betales det ut et fast beløp $B$ hvert år i all framtid, første gang 1. juli 2033. Kapitalen $K_{0} = 906 299,67$ kr er tilgjengelig samme dag.

Siden første utbetaling skjer på kapitalens tidspunkt (forskuddsvis), er saldoen etter utbetaling $K_{0} - B$ . Denne saldoen vokser med 5 % til neste år, og for at fondet skal vare evig må saldoen da igjen være $K_{0}$ :

(K_{0} - B) \cdot 1,05 = K_{0} ⟹ B = K_{0} \cdot \frac{0,05}{1,05}

B = 906 299,67 \cdot \frac{0,05}{1,05}

Det gir (linje 4 i utklippet, AltII)

B = 906 299,67 \cdot \frac{0,05}{1,05} = 43 157,13

Den årlige utbetalingen med alternativ II er $B \approx 43 157 kr$ (forskuddsvis).

Merk: Hadde første utbetaling skjedd ett år etter kapitalens tidspunkt (etterskuddsvis), ville svaret blitt $B = K_{0} \cdot 0,05 \approx 45 315$ kr.

Med alternativ III trekker Eirik ut 30 000 kr i 2033, og øker uttaket med 10 % hvert år. Kontoen vokser med 5 % per år. Vi simulerer saldoen år for år:

År	Saldo før uttak	Uttak	Saldo etter uttak × 1,05
2033	906 299,67	30 000	920 114,65
2034	920 114,65	33 000	931 470,39
…	…	…	…
2051	194 540,43	166 797,52	29 130,05
2052	29 130,05	183 477,27	—

I 2052 er saldoen 29 130 kr, mens planlagt uttak er 183 477 kr. Kontoen har ikke nok penger til å gjennomføre uttaket — kontoen er tom i 2052.

$Kontoen er tom i 2052.$

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2018, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Geometrisk rekke, Sparing, Rekker, Økonomi

Sparing og uttak med geometriske rekker

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sparing og uttak med geometriske rekker

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sparing og uttak med geometriske rekker

Sparing og uttak med geometriske rekker

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer