Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Programkoden nedenfor er ikke helt ferdig.

def f(x):
    return 1/3*x**3 + 5/3*x**2 + 25/9*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x))/h

x = -4
slutt = 4
dx = 0.002
maks_avvik = 0.000001

while (x < slutt):
    x = x + dx
    if abs(g(x)) < maks_avvik:                #sjekker om g(x) er nær 0

        if g(x - dx) * g(x + dx) > 0:
            print("f har et A for x =", x)

        elif g(x - dx) < g(x + dx):
            print("f har et B for x =", x)

        elif g(x - dx) > g(x + dx):
            print("f har et C for x =", x)

Forklar sammenhengen mellom $f (x)$ og $g (x)$ i koden.

Hvilke tre ulike begreper skal stå i stedet for A, B og C i linje 18, 21 og 24?

Når programmet kjøres, skrives det ut én setning.

I hvilken linje står denne setningen? Husk å begrunne svaret.

Fasit

$g (x)$ er en numerisk tilnærming til $f^{'} (x)$ (den deriverte av $f$ ).

A = terrassepunkt, B = bunnpunkt, C = toppunkt

Linje 18: «f har et terrassepunkt for x = …»

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $g (x)$ beregner den deriverte til $f$ numerisk ved hjelp av Newton-kvotienten (forskjellsformelen):

g (x) = \frac{f (x + h) - f (x)}{h}, h = 0,000001

$g (x)$ er en numerisk tilnærming til den deriverte $f^{'} (x)$ .

Koden sjekker fortegnsskiftet til $g$ rundt et stasjonært punkt ved å sammenligne $g (x - d x)$ og $g (x + d x)$ :

Linje 18 (A): g(x - dx) * g(x + dx) > 0 — begge har samme fortegn, altså skifter ikke $g$ fortegn. Det er ikke et topp- eller bunnpunkt, men et terrassepunkt.
Linje 21 (B): g(x - dx) < g(x + dx) — $g$ går fra negativ til positiv, altså er $f$ synkende til venstre og stigende til høyre. Det er et bunnpunkt.
Linje 24 (C): g(x - dx) > g(x + dx) — $g$ går fra positiv til negativ. Det er et toppunkt.

A = terrassepunkt, B = bunnpunkt, C = toppunkt.

Vi finner de stasjonære punktene til $f$ ved å løse $f^{'} (x) = 0$ .

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{5}{3} x^{2} + \frac{25}{9} x

f^{'} (x) = x^{2} + \frac{10}{3} x + \frac{25}{9}

Vi gjenkjenner dette som et fullstendig kvadrat:

f^{'} (x) = {(x + \frac{5}{3})}^{2}

Dette har ett dobbelt nullpunkt: $x = - \frac{5}{3}$ .

Siden $f^{'} (x) = {(x + \frac{5}{3})}^{2} \geq 0$ for alle $x$ , skifter aldri $f^{'}$ fortegn. Det betyr at $g (x - d x)$ og $g (x + d x)$ begge er ikke-negative rundt $x = - \frac{5}{3}$ , slik at produktet $g (x - d x) \cdot g (x + d x) > 0$ .

Den første betingelsen (g(x - dx) * g(x + dx) > 0) slår til, og programmet skriver ut:

«f har et terrassepunkt for x = …»

Setningen som skrives ut, er fra linje 18.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidaten som gjenkjenner den deriverte, eller som kaller dette gjennomsnittlig vekstfart i et lite intervall, får full uttelling.

Kandidaten må begrunne svaret for å få full uttelling. En begrunnelse med noen mangler kan gi 1 poeng.

En god strategi, som ikke fører helt frem kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Programmering, Derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter

Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

Lov på eksamen

Temaer