Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4

Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at $f (x) = {(x + 2)}^{2} \cdot (x - 1)$ .

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Bestem likningen til vendetangenten til grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Løs likningen ${(\ln x)}^{3} + 3 {(\ln x)}^{2} - 4 = 0$ .

Fasit

Se løsningsforslag

Toppunkt $(- 2, 0)$ , bunnpunkt $(0, - 4)$

$y = - 3 x - 5$

Se løsningsforslag

$x = e^{- 2}$ eller $x = e$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sjekker at $x = 1$ er en nullpunktsverdi: $f (1) = 1 + 3 - 4 = 0$ ✓

Vi utfører polynomdivisjon $(x^{3} + 3 x^{2} - 4) : (x - 1)$ :

x^{3} + 3 x^{2} - 4 = (x - 1) (x^{2} + 4 x + 4)

Vi faktoriserer $x^{2} + 4 x + 4 = {(x + 2)}^{2}$ , slik at

f (x) = {(x + 2)}^{2} (x - 1)

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)

$f^{'} (x) = 0$ gir $x = 0$ eller $x = - 2$ .

$f^{''} (x) = 6 x + 6$ :

$f^{''} (- 2) = - 6 < 0$ : Toppunkt $(- 2, f (- 2)) = (- 2, 0)$
$f^{''} (0) = 6 > 0$ : Bunnpunkt $(0, f (0)) = (0, - 4)$

Vendepunktet er der $f^{''} (x) = 0$ : $6 x + 6 = 0 ⟹ x = - 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 - 4 = - 2$ og $f^{'} (- 1) = 3 - 6 = - 3$ .

Vendetangenten:

y = - 3 (x - (- 1)) + (- 2) = - 3 x - 5

Grafen har dobbeltrot i $x = - 2$ (tangerer $x$ -aksen), nullpunkt i $x = 1$ , toppunkt $(- 2, 0)$ , bunnpunkt $(0, - 4)$ og vendepunkt $(- 1, - 2)$ .

Vi setter $u = \ln x$ :

{(\ln x)}^{3} + 3 {(\ln x)}^{2} - 4 = 0 ⟹ u^{3} + 3 u^{2} - 4 = 0

Dette er likningen $f (u) = 0$ , som fra oppgave a) gir ${(u + 2)}^{2} (u - 1) = 0$ , altså $u = - 2$ eller $u = 1$ .

\ln x = - 2 ⟹ x = e^{- 2} eller \ln x = 1 ⟹ x = e

x = e^{- 2} \approx 0,135 eller x = e \approx 2,718

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2019, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 10
Temaer: Polynomdivisjon, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Faktorisering, Logaritmer
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting

Polynomdivisjon og funksjonsdrøfting

Lov på eksamen

Temaer