Påstander om tredjegradsfunksjon

La $f$ være en tredjegradsfunksjon.

Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

For hånd

Påstand 1: Grafen til $f$ har minst ett ekstremalpunkt.

For hånd

Påstand 2: Alle linjer på formen $y = a x + b$ , der $a, b \in ℝ$ , vil skjære grafen til $f$ .

For hånd

Påstand 3: Dersom grafen til $f$ har et vendepunkt for $x = 3$ , er $f^{'} (1) = f^{'} (5)$ .

Fasit

Usann

Sann

Løsningsforslag

Jeg vet at funksjonen $f (x) = x^{3}$ kun har et terrassepunkt og ingen ekstremalpunkter. Jeg bruker derfor denne funksjonen som et moteksempel til påstanden og konkluderer med at påstanden er feil.

Påstanden er usann. $f$ trenger ikke ha ekstremalpunkter.

$f$ har et $x^{3}$ -ledd som vil stige eller synke kubisk mye raskere enn $y = a x + b$ . Det blir dermed umulig for den rette linja å «ikke bli tatt igjen» av $f$ .

Vi kan også bevise at disse vil skjære hverandre matematisk hvis vi lar $f (x) = c x^{3} + d x^{2} + m x + n$ .

c x^{3} + d x^{2} + m x + n = a x + b

c x^{3} + d x^{2} + (m + a) x + (n + b) = 0

Den siste likningen er en vanlig tredjegradslikning. Disse har alltid en løsning (tredjegradsfunksjoner må alltid krysse $x$ -aksen minst en gang). Derfor må $y = a x + b$ skjære $f$ minst ett sted.

Påstanden er sann. $y = a x + b$ vil alltid skjære $f$ minst ett sted.

Vi har vendepunkter når $f^{''} (x) = 0$ . Vi prøver å dobbeltderivere $f$ og sette inn for $f^{''} (3) = 0$ .

\begin{matrix} f (x) & = c x^{3} + d x^{2} + m x + n \\ f^{'} (x) & = 3 c x^{2} + 2 d x + m \\ f^{''} (x) & = 6 c x + 2 d \\ f^{''} (3) & = 0 \\ 6 c \cdot 3 + 2 d & = 0 \\ 18 c + 2 d & = 0 \\ d & = - 9 c \end{matrix}

Vi sjekker hva $f^{'} (1)$ og $f^{'} (5)$ er og prøver innsettingsmetoden med $d = - 9 c$ .

\begin{matrix} f^{'} (1) & = 3 c \cdot 1^{2} + 2 d \cdot 1 + m \\ f^{'} (1) & = 3 c + 2 (- 9 c) + m \\ f^{'} (1) & = 3 c - 18 c + m \\ f^{'} (1) & = - 15 c + m \end{matrix}

\begin{matrix} f^{'} (5) & = 3 c \cdot 5^{2} + 2 d \cdot 5 + m \\ f^{'} (5) & = 3 c \cdot 25 + 2 (- 9 c) \cdot 5 + m \\ f^{'} (5) & = 75 c + 10 \cdot (- 9 c) + m \\ f^{'} (5) & = 75 c - 90 c + m \\ f^{'} (5) & = - 15 c + m \end{matrix}

Påstanden stemmer. Når $f$ har vendepunkt i $x = 3$ så er $f^{'} (1) = f^{'} (5)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2023, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Argumentasjon
Kompetansemål: Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Påstander om tredjegradsfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Påstander om tredjegradsfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Påstander om tredjegradsfunksjon

Påstander om tredjegradsfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer