Vi skal avgjøre om $e^{k\cdot \ln (x)}=x^k$ for $x>0$.

Vi bruker potensregelen for logaritmer: $k\cdot \ln (x)=\ln (x^k)$.

Dermed får vi:

Det siste steget bruker at $e^{\ln (u)}=u$ for alle $u>0$. Siden $x>0$ er også $x^k>0$, så betingelsen er oppfylt.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{SANN}}}$.

For at $f$ skal være deriverbar i $x=2$, må den først og fremst være kontinuerlig der. Vi sjekker om grenseverdiene fra venstre og høyre stemmer overens med funksjonsverdien.

Grenseverdi fra venstre ($x\to 2^{-}$, vi bruker forskriften $x^3-2$):

Funksjonsverdi og grenseverdi fra høyre ($x=2$, vi bruker forskriften $3x^2-4$):

Siden ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=6\ne 8=f(2)$, er $f$ ikke kontinuerlig i $x=2$.

En funksjon som ikke er kontinuerlig kan heller ikke være deriverbar.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{USANN}}}$.

Vi skal avgjøre om en funksjon som er minkende i deler av definisjonsmengden og voksende i andre deler, likevel kan ha en omvendt funksjon.

En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er én-til-én (injektiv): ulike $x$-verdier gir ulike funksjonsverdier.

Betrakt funksjonen

• For $x<0$: $f(x)=-x>0$, så verdimengden er $(0,\infty )$. Funksjonen er minkende på $(-\infty ,0)$.
• For $x>0$: $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}<0$, så verdimengden er $(-\infty ,0)$. Funksjonen er voksende på $(0,\infty )$.

Verdimengdene for de to grenene er disjunkte ($(0,\infty )$ og $(-\infty ,0)$), og hver gren er én-til-én på sitt intervall. Dermed er hele funksjonen én-til-én, og den har en omvendt funksjon — selv om den er minkende i én del og voksende i en annen.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{SANN}}}$.