Pappstykke brettes til eske og volumoptimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rektangel med hjørnene klippet bort

Tenk deg at du har et stykke papp med form som et rektangel. Rektangelet er $20 \mathrm{~cm}$ langt og $14 \mathrm{~cm}$ bredt. I hvert hjørne av rektangelet skal du klippe bort et kvadrat. De fire kvadratene skal være like store. Du skal så brette langs de stiplede linjene og lage en eske (uten lokk).

Gjør beregninger, tegn av, og fyll ut tabellen nedenfor.

Lengden av hver side i kvadratene som klippes bort	Bredden av esken	Volumet av esken
$4 \mathrm{~cm}$		$288 \mathrm{~cm^3}$
$3 \mathrm{~cm}$	$8 \mathrm{~cm}$
$2{,}5 \mathrm{~cm}$
$x \mathrm{~cm}$

Bruk graftegner til å bestemme hvor lang hver side i kvadratene som klippes bort, må være for at volumet av esken skal bli størst mulig. Hvor stort blir volumet da?

Fasit

Se tabell under. Generelt: lengde $= (20-2x) \, \mathrm{cm}$ , bredde $= (14-2x) \, \mathrm{cm}$ , høyde $= x \, \mathrm{cm}$ , volum $= x(20-2x)(14-2x) \, \mathrm{cm^3}$

$\underline{\underline{x \approx 2{,}70 \, \mathrm{cm}}}$ , maks volum $\underline{\underline{V \approx 339 \, \mathrm{cm^3}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Når vi klipper bort et kvadrat med side $x$ i hvert hjørne og bretter opp, får esken:

Høyde: $x \, \mathrm{cm}$ (siden vi bretter opp)
Lengde: $(20 - 2x) \, \mathrm{cm}$ (vi mister $x$ i hver ende)
Bredde: $(14 - 2x) \, \mathrm{cm}$ (vi mister $x$ i hver ende)
Volum: $V = x \cdot (20-2x) \cdot (14-2x) \, \mathrm{cm^3}$

Vi fyller inn tabellen rad for rad:

Rad 1: $x = 4 \, \mathrm{cm}$ (volumet er oppgitt som $288 \, \mathrm{cm^3}$ , vi regner ut de andre):

\text{Lengde} = 20 - 2 \cdot 4 = 12 \, \mathrm{cm}, \quad \text{Bredde} = 14 - 2 \cdot 4 = 6 \, \mathrm{cm}, \quad \text{Høyde} = 4 \, \mathrm{cm}

V = 12 \cdot 6 \cdot 4 = 288 \, \mathrm{cm^3} \checkmark

Rad 2: $x = 3 \, \mathrm{cm}$ (bredden er oppgitt som $8 \, \mathrm{cm}$ ):

\text{Lengde} = 20 - 2 \cdot 3 = 14 \, \mathrm{cm}, \quad \text{Bredde} = 8 \, \mathrm{cm} \checkmark, \quad \text{Høyde} = 3 \, \mathrm{cm}

V = 14 \cdot 8 \cdot 3 = 336 \, \mathrm{cm^3}

Rad 3: $x = 2{,}5 \, \mathrm{cm}$ :

\text{Lengde} = 20 - 2 \cdot 2{,}5 = 15 \, \mathrm{cm}, \quad \text{Bredde} = 14 - 2 \cdot 2{,}5 = 9 \, \mathrm{cm}, \quad \text{Høyde} = 2{,}5 \, \mathrm{cm}

V = 15 \cdot 9 \cdot 2{,}5 = 337{,}5 \, \mathrm{cm^3}

Rad 4: $x \, \mathrm{cm}$ (generelt):

\text{Lengde} = (20-2x) \, \mathrm{cm}, \quad \text{Bredde} = (14-2x) \, \mathrm{cm}, \quad \text{Høyde} = x \, \mathrm{cm}

V = x(20-2x)(14-2x) \, \mathrm{cm^3}

Utfylt tabell:

Side i kvadrat	Lengde	Bredde	Høyde	Volum
$4 \, \mathrm{cm}$	$12 \, \mathrm{cm}$	$6 \, \mathrm{cm}$	$4 \, \mathrm{cm}$	$288 \, \mathrm{cm^3}$
$3 \, \mathrm{cm}$	$14 \, \mathrm{cm}$	$8 \, \mathrm{cm}$	$3 \, \mathrm{cm}$	$336 \, \mathrm{cm^3}$
$2{,}5 \, \mathrm{cm}$	$15 \, \mathrm{cm}$	$9 \, \mathrm{cm}$	$2{,}5 \, \mathrm{cm}$	$337{,}5 \, \mathrm{cm^3}$
$x \, \mathrm{cm}$	$(20-2x) \, \mathrm{cm}$	$(14-2x) \, \mathrm{cm}$	$x \, \mathrm{cm}$	$x(20-2x)(14-2x) \, \mathrm{cm^3}$

Vi har volumfunksjonen

V(x) = x(20-2x)(14-2x)

der $x$ må være mellom $0$ og $7$ (ellers blir bredden $14-2x$ negativ).

Vi ganger ut parentesene:

V(x) = 4x^3 - 68x^2 + 280x

For å finne maksimum deriverer vi og setter $V'(x) = 0$ :

V'(x) = 12x^2 - 136x + 280

12x^2 - 136x + 280 = 0

Vi deler alle ledd på $4$ :

3x^2 - 34x + 70 = 0

Løsning med $abc$ -formelen ( $a=3$ , $b=-34$ , $c=70$ ):

x = \frac{34 \pm \sqrt{34^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70}}{2 \cdot 3} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 840}}{6} = \frac{34 \pm \sqrt{316}}{6}

\sqrt{316} \approx 17{,}78

x_1 = \frac{34 - 17{,}78}{6} \approx \frac{16{,}22}{6} \approx 2{,}70 \, \mathrm{cm}

x_2 = \frac{34 + 17{,}78}{6} \approx \frac{51{,}78}{6} \approx 8{,}63 \, \mathrm{cm}

Siden $x$ må være mellom $0$ og $7$ , er det bare $x \approx 2{,}70$ som er gyldig.

Grafen til volumfunksjonen med maksimumspunkt

Vi kontrollerer at det er et maksimum (og ikke minimum) ved å sjekke andrederiverte:

V''(x) = 24x - 136

V''(2{,}70) = 24 \cdot 2{,}70 - 136 = 64{,}8 - 136 = -71{,}2 < 0 \checkmark

Negativt fortegn bekrefter at det er et toppunkt.

Maksimalt volum:

V(2{,}70) = 2{,}70 \cdot (20 - 2 \cdot 2{,}70) \cdot (14 - 2 \cdot 2{,}70) = 2{,}70 \cdot 14{,}60 \cdot 8{,}60 \approx 339 \, \mathrm{cm^3}

Sidene i de utkleipte kvadratene bør være omtrent $\underline{\underline{x \approx 2{,}70 \, \mathrm{cm}}}$ . Da blir volumet størst mulig med $\underline{\underline{V \approx 339 \, \mathrm{cm^3}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Optimering, Geometri, Modellering, Funksjoner

Pappstykke brettes til eske og volumoptimering

Sync på tvers av enheter

Pappstykke brettes til eske og volumoptimering

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave