Optimering av rektangelareal og program

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En elev har fått følgende oppgave:

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = {(x^{2} - 9)}^{4}, x \in ⟨ 0, 3 ⟩

Et rektangel $R$ har hjørner i $(0, 0)$ , $(t, 0)$ , $(t, f (t))$ og $(0, f (t))$ .

Bestem den verdien av $t$ som gjør at $R$ har størst areal.

Figur

For å løse oppgaven har eleven laget følgende program:

def A(x):
    return x*(x**2-9)**4

t = 0
d = 0.01

while A(t) < A(t+d):
    t = t + d

print(t)

Forklar strategien eleven har brukt for å løse oppgaven.

Løs oppgaven eleven har fått.

Fasit

Algoritmen starter ved $t = 0$ og klatrer oppover ved å øke $t$ med $d = 0,01$ så lenge arealet vokser. Når arealet begynner å avta, stoppes løkken — og $t$ er (omtrentlig) ved maksimumspunktet.

$t = 1$ , største areal $= 𝟒𝟎𝟗𝟔$

LøsningsforslagKI-generert

Programmet bruker en numerisk søkealgoritme som leter etter maksimum ved å «klatre oppover bakken»:

Eleven starter ved $t = 0$ og øker $t$ med $d = 0,01$ i hvert steg.
Betingelsen A(t) < A(t+d) sjekker om arealet fortsatt vokser. Så lenge neste skritt gir større areal, fortsetter løkken.
Når A(t) >= A(t+d) er det neste skrittet enten like stort eller mindre — arealet har nådd toppen og begynner å avta. Løkken stopper.
Den siste $t$ -verdien er da en tilnærming til det $t$ som gir størst areal.

Strategien forutsetter at arealet har akkurat ett maksimum på intervallet $(0, 3)$ , og at startpunktet $t = 0$ er til venstre for maksimumspunktet.

Arealet til rektangelet er

A (t) = t \cdot f (t) = t {(t^{2} - 9)}^{4}, t \in ⟨ 0, 3 ⟩

Vi deriverer $A (t)$ med produktregelen og kjerneregelen:

\begin{matrix} A^{'} (t) & = {(t^{2} - 9)}^{4} + t \cdot 4 {(t^{2} - 9)}^{3} \cdot 2 t \\ = {(t^{2} - 9)}^{4} + 8 t^{2} {(t^{2} - 9)}^{3} \\ = {(t^{2} - 9)}^{3} [(t^{2} - 9) + 8 t^{2}] \\ = {(t^{2} - 9)}^{3} (9 t^{2} - 9) \\ = 9 {(t^{2} - 9)}^{3} (t^{2} - 1) \end{matrix}

Vi setter $A^{'} (t) = 0$ :

9 {(t^{2} - 9)}^{3} (t^{2} - 1) = 0

t^{2} - 9 = 0 ⟹ t = \pm 3 (ikke i det åpne intervallet ⟨ 0,3 ⟩)

t^{2} - 1 = 0 ⟹ t = \pm 1 ⟹ t = 1 (i intervallet)

Fortegnsanalyse av $A^{'} (t)$ på $⟨ 0, 3 ⟩$ :

For $t \in ⟨ 0, 1 ⟩$ : $t^{2} - 9 < 0$ , så ${(t^{2} - 9)}^{3} < 0$ . Og $t^{2} - 1 < 0$ .

A^{'} (t) = 9 \cdot \underset{< 0}{\underset{⏟}{{(t^{2} - 9)}^{3}}} \cdot \underset{< 0}{\underset{⏟}{(t^{2} - 1)}} > 0 \Rightarrow A er voksende.

For $t \in ⟨ 1, 3 ⟩$ : $t^{2} - 9 < 0$ , så ${(t^{2} - 9)}^{3} < 0$ . Og $t^{2} - 1 > 0$ .

A^{'} (t) = 9 \cdot \underset{< 0}{\underset{⏟}{{(t^{2} - 9)}^{3}}} \cdot \underset{> 0}{\underset{⏟}{(t^{2} - 1)}} < 0 \Rightarrow A er avtagende.

Siden $A^{'}$ skifter fra positiv til negativ i $t = 1$ , er dette et maksimumspunkt.

Største areal:

A (1) = 1 \cdot {(1^{2} - 9)}^{4} = {(- 8)}^{4} = 𝟒𝟎𝟗𝟔

Den verdien av $t$ som gir størst areal er $t = 1$ , og det største arealet er $4096$ arealenheter.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som forklarer hva som skjer i koden linje for linje uten å kommunisere hva som er strategien kan få 1 poeng. Kandidaten behøver ikke å forklare hver linje i programmet for å få full uttelling.

Kandidater som gjør en feil i derivasjonen av uttrykket, men som har riktig strategi, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2023, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Programmering, Derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Optimering av rektangelareal og program

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Optimering av rektangelareal og program

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Optimering av rektangelareal og program

Optimering av rektangelareal og program

Lov på eksamen

Temaer