Optimering av materialkostnader for skap

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift skal produsere et skap formet som et rett prisme. Skapet skal ha kvadratisk bunn, og volumet skal være 800 L.

Materialet til sideflatene og toppen koster $230 \text{ kroner/m}^2$ . Materialet til bunnen koster $450 \text{ kroner/m}^2$ .

Rett prisme med kvadratisk bunn og sidelengde x

Vis at de totale materialkostnadene er gitt ved

K(x) = 680x^2 + \frac{736}{x}, \quad x > 0

der $x$ er lengden på sidene i bunnen, målt i meter.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $K$ .

Bestem $x$ slik at materialkostnadene blir lavest mulig.

Fasit

Se løsningsforslag.

$x \approx 0{,}815 \text{ m}$ , $K \approx 1355 \text{ kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være sidelengden i den kvadratiske bunnen (i meter) og $h$ være høyden på skapet (i meter).

Volumkravet gir:

x^2 \cdot h = 800 \text{ L} = 0{,}8 \text{ m}^3 \implies h = \frac{0{,}8}{x^2}

Materialkostnadene beregnes for hver flate:

Bunn: $x^2 \cdot 450$ kr
Topp: $x^2 \cdot 230$ kr
Fire sidevegger: $4 \cdot (x \cdot h) \cdot 230$ kr

Totalt:

K(x) = 450x^2 + 230x^2 + 4 \cdot x \cdot \frac{0{,}8}{x^2} \cdot 230

K(x) = 680x^2 + \frac{4 \cdot 0{,}8 \cdot 230}{x} = 680x^2 + \frac{736}{x}

Grafen til $K(x) = 680x^2 + \dfrac{736}{x}$ for $x > 0$ :

Graf av K(x) = 680x² + 736/x

Grafen har et bunnpunkt (minimumspunkt) for $x \approx 0{,}815$ m.

Vi deriverer og setter den deriverte lik null:

K'(x) = 1360x - \frac{736}{x^2}

K'(x) = 0 \implies 1360x = \frac{736}{x^2} \implies x^3 = \frac{736}{1360} = \frac{46}{85}

x = \sqrt[3]{\frac{46}{85}} \approx 0{,}815 \text{ m}

Vi sjekker at dette er et minimum ved å kontrollere fortegnskiftet til $K'$ : $K'(x) < 0$ for $x < 0{,}815$ og $K'(x) > 0$ for $x > 0{,}815$ , så dette er et minimum.

Den laveste materialkostnaden er:

K(0{,}815) = 680 \cdot 0{,}815^2 + \frac{736}{0{,}815} \approx 451{,}7 + 903{,}1 \approx 1355 \text{ kr}

Materialkostnadene blir lavest mulig når $x \approx 0{,}815$ m (dvs. ca. 81,5 cm), og den laveste kostnaden er ca. 1355 kr.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Kostnadsfunksjon, Volum

Optimering av materialkostnader for skap

Sync på tvers av enheter

Optimering av materialkostnader for skap

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave