Optimering av container uten lokk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har fått bestilling på en container som skal ha form som et rett prisme uten lokk. Volumet til containerne skal være $10 m^{3}$ . Lengden skal være dobbelt så stor som bredden.

Vi lar høyden være $h$ m, bredden $x$ m og lengden $2 x$ m. Se skissen nedenfor.

Skisse av container som rektangulært prisme

Kalkulator

Vis at høyden $h$ av containeren er gitt ved

h = \frac{5}{x^{2}}

Materialet til bunnen koster 100 kroner per kvadratmeter. Materialet til de fire sidene koster 60 kroner per kvadratmeter.

Kalkulator

Vis at kostnadene kan skrives som

K (x) = 200 x^{2} + \frac{1800}{x}

Kalkulator

Bestem lengde, bredde og høyde i containeren slik at kostnadene ved å produsere containeren blir minst mulig.

Bestem den minste kostnaden ved å produsere containeren.

Fasit

Se løsningsforslag.

Bredde $x \approx 1,65$ m, lengde $2 x \approx 3,30$ m, høyde $h \approx 1,83$ m. Minste kostnad $K \approx 1635$ kr.

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av containeren er lengde $\times$ bredde $\times$ høyde:

V = 2 x \cdot x \cdot h = 2 x^{2} h

Siden volumet skal være $10 m^{3}$ :

2 x^{2} h = 10

h = \frac{10}{2 x^{2}} = \frac{5}{x^{2}}

Bunnen har areal $2 x \cdot x = 2 x^{2}$ .

De fire sidene er to store sider (lengde $\times$ høyde) og to små sider (bredde $\times$ høyde):

A_{sider} = 2 \cdot (2 x \cdot h) + 2 \cdot (x \cdot h) = 4 x h + 2 x h = 6 x h

Vi setter inn $h = \frac{5}{x^{2}}$ :

A_{sider} = 6 x \cdot \frac{5}{x^{2}} = \frac{30}{x}

Kostnadsfunksjonen blir:

K (x) = 100 \cdot 2 x^{2} + 60 \cdot \frac{30}{x} = 200 x^{2} + \frac{1800}{x}

Vi finner $K^{'} (x)$ :

K^{'} (x) = 400 x - \frac{1800}{x^{2}}

Setter $K^{'} (x) = 0$ :

400 x - \frac{1800}{x^{2}} = 0

400 x = \frac{1800}{x^{2}}

400 x^{3} = 1800

x^{3} = \frac{1800}{400} = 4,5

x = \sqrt[3]{4,5} \approx 1,651 m

Siden $K^{'} (x) < 0$ for $x < \sqrt[3]{4,5}$ og $K^{'} (x) > 0$ for $x > \sqrt[3]{4,5}$ , er dette et minimum.

Dimensjonene blir:

Bredde: $x \approx 1,65$ m
Lengde: $2 x \approx 3,30$ m
Høyde: $h = \frac{5}{x^{2}} = \frac{5}{{(\sqrt[3]{4,5})}^{2}} \approx 1,83$ m

Minste kostnad:

K (\sqrt[3]{4,5}) = 200 \cdot {(\sqrt[3]{4,5})}^{2} + \frac{1800}{\sqrt[3]{4,5}} \approx 200 \cdot 2,724 + \frac{1800}{1,651} \approx 545 + 1090 \approx 1635 kr

Den minste kostnaden er omtrent 1635 kr.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2014, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Volum, Derivasjon

Optimering av container uten lokk

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Optimering av container uten lokk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Optimering av container uten lokk

Optimering av container uten lokk

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer