Optimering av container uten lokk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har fått bestilling på en container som skal ha form som et rett prisme uten lokk. Volumet til containerne skal være $10 \mathrm{~m^3}$ . Lengden skal være dobbelt så stor som bredden.

Vi lar høyden være $h$ m, bredden $x$ m og lengden $2x$ m. Se skissen nedenfor.

Skisse av container som rektangulært prisme

Vis at høyden $h$ av containeren er gitt ved

h = \frac{5}{x^2}

Materialet til bunnen koster 100 kroner per kvadratmeter. Materialet til de fire sidene koster 60 kroner per kvadratmeter.

Vis at kostnadene kan skrives som

K(x) = 200x^2 + \frac{1800}{x}

Bestem lengde, bredde og høyde i containeren slik at kostnadene ved å produsere containeren blir minst mulig.

Bestem den minste kostnaden ved å produsere containeren.

Fasit

Se løsningsforslag.

Bredde $x \approx 1{,}65$ m, lengde $2x \approx 3{,}30$ m, høyde $h \approx 1{,}83$ m. Minste kostnad $K \approx 1635$ kr.

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av containeren er lengde $\times$ bredde $\times$ høyde:

V = 2x \cdot x \cdot h = 2x^2 h

Siden volumet skal være $10 \text{ m}^3$ :

2x^2 h = 10

h = \frac{10}{2x^2} = \frac{5}{x^2}

Bunnen har areal $2x \cdot x = 2x^2$ .

De fire sidene er to store sider (lengde $\times$ høyde) og to små sider (bredde $\times$ høyde):

A_{\text{sider}} = 2 \cdot (2x \cdot h) + 2 \cdot (x \cdot h) = 4xh + 2xh = 6xh

Vi setter inn $h = \dfrac{5}{x^2}$ :

A_{\text{sider}} = 6x \cdot \frac{5}{x^2} = \frac{30}{x}

Kostnadsfunksjonen blir:

K(x) = 100 \cdot 2x^2 + 60 \cdot \frac{30}{x} = 200x^2 + \frac{1800}{x}

Vi finner $K'(x)$ :

K'(x) = 400x - \frac{1800}{x^2}

Setter $K'(x) = 0$ :

400x - \frac{1800}{x^2} = 0

400x = \frac{1800}{x^2}

400x^3 = 1800

x^3 = \frac{1800}{400} = 4{,}5

x = \sqrt[3]{4{,}5} \approx 1{,}651 \text{ m}

Siden $K'(x) < 0$ for $x < \sqrt[3]{4{,}5}$ og $K'(x) > 0$ for $x > \sqrt[3]{4{,}5}$ , er dette et minimum.

Dimensjonene blir:

Bredde: $x \approx 1{,}65$ m
Lengde: $2x \approx 3{,}30$ m
Høyde: $h = \dfrac{5}{x^2} = \dfrac{5}{(\sqrt[3]{4{,}5})^2} \approx 1{,}83$ m

Minste kostnad:

K\!\left(\sqrt[3]{4{,}5}\right) = 200 \cdot (\sqrt[3]{4{,}5})^2 + \frac{1800}{\sqrt[3]{4{,}5}} \approx 200 \cdot 2{,}724 + \frac{1800}{1{,}651} \approx 545 + 1090 \approx 1635 \text{ kr}

Den minste kostnaden er omtrent 1635 kr.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Volum, Derivasjon

Optimering av container uten lokk

Sync på tvers av enheter

Optimering av container uten lokk

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave