For at $f$ skal ha en omvendt funksjon på $D_f=[-3,\to ⟩$, må $f$ være strengt monoton (voksende eller avtagende) på hele definisjonsmengden.

Vi deriverer:

Siden $x^2\ge 0$ for alle $x$, bestemmes fortegnet til $f^{\prime }(x)$ av faktoren $(4x-3b)$.

$f^{\prime }(x)=0$ når $x=0$ eller $x={\displaystyle \frac{3b}{4}}$.

For at $f$ skal være strengt voksende på $[-3,\to ⟩$, må $f^{\prime }(x)\ge 0$ for alle $x\in [-3,\to ⟩$, med $f^{\prime }(x)=0$ kun i isolerte punkter. Det betyr at $(4x-3b)\ge 0$ for alle $x\ge -3$.

Det kritiske stedet er $x=-3$ (det minste $x$-verdien i $D_f$):

Kontroll for $b=-4$: Da er $f^{\prime }(x)=x^2(4x+12)=4x^2(x+3)$.

For $x\in [-3,\to ⟩$ er $x^2\ge 0$ og $(x+3)\ge 0$, så $f^{\prime }(x)\ge 0$. Likhet inntreffer kun i $x=-3$ og $x=0$, som er isolerte punkter – $f$ er likevel strengt voksende. ✓

For $b<-4$: Nullpunktet $x=\frac{3b}{4}<-3$ ligger utenfor $D_f$, og $(4x-3b)>0$ for alle $x>-3$, så $f^{\prime }(x)>0$ på $⟨-3,\to ⟩$. ✓

For $b>-4$: Nullpunktet $x=\frac{3b}{4}>-3$ ligger inne i $D_f$, og $f^{\prime }$ skifter fortegn der – $f$ er ikke monoton. ✗

$f$ har omvendt funksjon på $[-3,\to ⟩$ når