Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $g$ er gitt ved $g (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2}$

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$ .

Vis at $g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3)$

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

$x = \frac{1}{2}$ (dobbelt nullpunkt)

Se løsningsforslag.

Toppunkt: $(- \frac{3}{2}, 8 e^{- 3 / 2})$ , bunnpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser etter $x$ slik at $g (x) = 0$ :

\frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2} = 0

Et produkt er null når minst én faktor er null. Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , og $\frac{1}{2} > 0$ , må

{(2 x - 1)}^{2} = 0 ⟹ 2 x - 1 = 0 ⟹ x = \frac{1}{2}

$g$ har ett nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$ (dobbelt nullpunkt).

Vi deriverer $g (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2}$ med produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

u = \frac{1}{2} e^{x}, u^{'} = \frac{1}{2} e^{x}

v = {(2 x - 1)}^{2}, v^{'} = 2 (2 x - 1) \cdot 2 = 4 (2 x - 1)

Dermed:

g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2} + \frac{1}{2} e^{x} \cdot 4 (2 x - 1)

Vi faktoriserer ut $\frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1)$ :

g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) [(2 x - 1) + 4] = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3)

Dette er det vi skulle vise. $■$

Vi setter $g^{'} (x) = 0$ :

\frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3) = 0

Siden $\frac{1}{2} e^{x} > 0$ for alle $x$ , må

(2 x - 1) (2 x + 3) = 0 ⟹ x = \frac{1}{2} eller x = - \frac{3}{2}

Fortegnsskjema for $g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (2 x - 1) \cdot (2 x + 3)$ :

Fortegnslinje for g'(x) med sjablongkurve for g(x)

$g$ har toppunkt i $x = - \frac{3}{2}$ og bunnpunkt i $x = \frac{1}{2}$ .

Funksjonsverdi i toppunktet:

g (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot {(2 \cdot (- \frac{3}{2}) - 1)}^{2} = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot {(- 4)}^{2} = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot 16 = 8 e^{- 3 / 2}

Funksjonsverdi i bunnpunktet:

g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{1 / 2} \cdot {(2 \cdot \frac{1}{2} - 1)}^{2} = \frac{1}{2} e^{1 / 2} \cdot 0 = 0

Toppunkt: $(- \frac{3}{2}, 8 e^{- 3 / 2}) \approx (- 1,5; 1,78)$

Bunnpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Kandidater som viser god kompetanse innen derivasjon, men ikke kommer fram til riktig svar kan få 1 poeng. Kandidater som deriverer riktig, men som ikke viser faktorisering, får 2 poeng.

Kandidater som kun finner $x$ -verdiene til punktene, kan få 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidatene argumentere for om punktene er topp- eller bunnpunkter.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Lov på eksamen

Temaer