Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer en type medisin som selges på flasker. De antar at vekten $X$ av flaskene er normalfordelt med forventningsverdi $250,0 g$ og standardavvik $3,0 g$ . Bedriften sier at en flaske veier for lite når den veier mindre enn $245,0 g$ .

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske veier for lite.

Flaskene blir pakket i esker. Hver eske inneholder 15 flasker. La $Y$ være antall flasker som veier for lite, i en tilfeldig valgt eske. Da er $Y$ binomisk fordelt.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt eske skal inneholde én eller flere flasker som veier for lite.

Bedriften har som målsetting at maksimalt 10 % av eskene skal ha flasker som veier for lite. For å nå dette målet må de justere forventningsverdien til $X$ . Vi antar at standardavviket forblir uforandret ved justeringen.

Kalkulator

Grunngi at sannsynligheten for at en flaske veier for lite, må være høyst $0,70 %$ dersom de skal kunne nå målsettingen.

Kalkulator

Hva må forventningsverdien til $X$ være for at kravet i oppgave c) skal bli oppfylt?

Fasit

$P (X < 245) \approx 4,8 %$

$P (Y \geq 1) \approx 52 %$

$p \leq 0,70 %$

$μ \approx 252,4 g$

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er normalfordelt med forventningsverdi $μ = 250,0$ og standardavvik $σ = 3,0$ .

Vi standardiserer og bruker normalfordelingstabellen eller GeoGebra:

z = \frac{245 - 250}{3} = - 1,667

P (X < 245) = Φ (- 1,667) \approx 0,0478

Sannsynligheten for at en tilfeldig flaske veier for lite, er $\approx 4,8 %$ .

$Y$ er binomisk fordelt med $n = 15$ og $p = 0,0478$ .

P (Y \geq 1) = 1 - P (Y = 0) = 1 - {(1 - 0,0478)}^{15}

Se linje 2 i CAS-utklippet:

P (Y \geq 1) = 1 - {0,9522}^{15} \approx 0,520

Sannsynligheten for at en tilfeldig eske inneholder én eller flere for lette flasker, er $\approx 52 %$ .

Målsettingen er at høyst $10 %$ av eskene skal ha flasker som veier for lite, det vil si:

P (Y \geq 1) \leq 0,10

Siden $P (Y \geq 1) = 1 - P (Y = 0) = 1 - {(1 - p)}^{15}$ , gir dette:

1 - {(1 - p)}^{15} \leq 0,10

{(1 - p)}^{15} \geq 0,90

1 - p \geq {0,90}^{\frac{1}{15}}

p \leq 1 - {0,90}^{\frac{1}{15}}

Se linje 3 i CAS-utklippet:

p \leq 1 - {0,90}^{\frac{1}{15}} \approx 0,0070 = 0,70 %

For å nå målsettingen må sannsynligheten for at én flaske veier for lite, være høyst $0,70 %$ .

Vi krever $P (X < 245) = 0,0070$ . Vi standardiserer:

\frac{245 - μ}{3} = z_{0,0070}

Der $z_{0,0070}$ er den $z$ -verdien som gir $Φ (z) = 0,0070$ . Fra invers normalfordeling:

z_{0,0070} = Φ^{- 1} (0,0070) \approx - 2,457

Løser for $μ$ (se linje 4 i CAS-utklippet):

μ = 245 + 3 \cdot 2,457 \approx 252,4 g

Forventningsverdien til $X$ må økes til $\approx 252,4 g$ for at kravet skal bli oppfylt.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2018, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Normalfordeling, Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi

Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer