Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås.

For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Nøkkelboks type 1 (Master Lock)

Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks?

For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å velge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge.

Nøkkelboks type 2 (med knapper)

Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall?

Hvor mange tall må koden bestå av for at antallet mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da?

Fasit

$10 000 koder$

$210 koder$

$k = 5, 252 koder$

LøsningsforslagKI-generert

Koden består av fire tall, og hvert tall velges blant $10$ mulige sifre ( $0$ – $9$ ). Sifrene kan gjenta seg, og rekkefølgen betyr noe. Vi bruker multiplikasjonsprinsippet: det er $10$ valg for hvert av de fire sifrene i koden.

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{4} = 10 000

Det finnes $10 000$ ulike koder.

Her skal koden bestå av fire forskjellige tall valgt blant tallene $0$ – $9$ , og rekkefølgen har ikke noe å si. Da teller vi antall kombinasjoner av $4$ tall blant $10$ :

(\binom{10}{4}) = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = 210

Det finnes $210$ ulike koder.

Dersom koden består av $k$ forskjellige tall valgt blant $10$ tall uten hensyn til rekkefølge, er antall mulige koder gitt ved $(\binom{10}{k})$ .

Vi må finne den verdien av $k$ (der $k$ kan være $0, 1, 2, \dots, 10$ ) som gjør $(\binom{10}{k})$ størst mulig. Binomialkoeffisientene $(\binom{10}{k})$ er symmetriske om $k = 5$ og øker fram til midten:

(\binom{10}{0}) = 1, (\binom{10}{1}) = 10, (\binom{10}{2}) = 45, (\binom{10}{3}) = 120, (\binom{10}{4}) = 210, (\binom{10}{5}) = 252

Deretter avtar de igjen ( $(\binom{10}{6}) = 210$ , osv., siden $(\binom{10}{k}) = (\binom{10}{10 - k})$ ). Det største antallet koder får vi altså når koden består av $k = 5$ forskjellige tall, og da er antall mulige koder

(\binom{10}{5}) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = 252

Koden bør bestå av $5$ tall, og da er det $252$ mulige koder.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2017, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet

Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge

Lov på eksamen

Temaer