Nedbrytning av radioaktivt jod-131

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jod-131 er et radioaktivt stoff som blant annet blir brukt i medisinske undersøkelser. Siden stoffet er radioaktivt, vil det brytes ned over tid.

Funksjonen $N$ gitt ved

N (x) = 5,0 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,125 x}, x \geq 0

viser massen $N (x)$ mikrogram jod-131 som er igjen i en beholder etter $x$ dager.

Kalkulator

Bestem $N (0)$ , og gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Kalkulator

Tegn grafen til $N$ .

Vi snakker ofte om at radioaktive stoff har en halveringstid. Halveringstiden er tiden det tar før halvparten av et stoff er brutt ned.

Kalkulator

Bestem halveringstiden til jod-131.

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(6, N (6))$ og $(40, N (40))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Krever PC

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $N$ i punktet $(20, N (20))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Fasit

$N (0) = 5,0 µg$ — startmassen i beholderen

$T_{1 / 2} = 8 d a g e r$

$k \approx - 0,083 µg/dag$

$N^{'} (20) \approx - 0,077 µg/dag$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 0$ inn i funksjonsuttrykket:

N (0) = 5,0 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,125 \cdot 0} = 5,0 \cdot 1 = 5,0

$N (0) = 5,0 µg$

Praktisk tolkning: Da forsøket startet (dag 0) var det $5,0$ mikrogram jod-131 i beholderen.

Vi regner ut noen punkter og tegner grafen:

$x$ (dager)	$N (x)$ (µg)
0	$5,0$
8	$2,5$
16	$1,25$
24	$0,625$

$Grafen til N(x) = 5{,}0 \cdot (1/2)^{0{,}125x} for x \geq 0 – en avtagende eksponentialkurve fra (0, 5{,}0) som nærmer seg 0$

Grafen er en avtagende eksponentialkurve som starter i $(0, 5,0)$ og nærmer seg 0.

Halveringstiden er den verdien av $x$ der $N (x) = \frac{N (0)}{2} = 2,5$ . Vi setter opp likningen:

5,0 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,125 x} = 2,5

{(\frac{1}{2})}^{0,125 x} = \frac{1}{2}

Siden basen er $\frac{1}{2}$ og høyre side også er $\frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{1}$ , må eksponenten være lik 1:

0,125 x = 1

x = \frac{1}{0,125} = 8

Halveringstiden er $8 d a g e r$ .

Praktisk tolkning: Etter 8 dager er halvparten av jod-131 i beholderen brutt ned.

Vi regner ut $N (6)$ og $N (40)$ :

N (6) = 5,0 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,125 \cdot 6} = 5,0 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,75} \approx 2,973 µg

N (40) = 5,0 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,125 \cdot 40} = 5,0 \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} = 5,0 \cdot \frac{1}{32} = 0,15625 µg

Stigningstallet til sekanten:

k = \frac{N (40) - N (6)}{40 - 6} = \frac{0,15625 - 2,973}{34} \approx \frac{- 2,817}{34} \approx - 0,083 µg/dag

Stigningstallet er $k \approx - 0,083 µg/dag$ .

Praktisk tolkning: Fra dag 6 til dag 40 ble det i gjennomsnitt brutt ned ca. $0,083$ mikrogram jod-131 per dag.

Stigningstallet til tangenten i et punkt er lik den deriverte i det punktet. Vi deriverer $N (x)$ :

N (x) = 5,0 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,125 x} = 5,0 \cdot e^{0,125 x \cdot \ln (\frac{1}{2})}

N^{'} (x) = 5,0 \cdot \ln (\frac{1}{2}) \cdot 0,125 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,125 x}

Vi setter inn $x = 20$ :

N^{'} (20) = 5,0 \cdot \ln (\frac{1}{2}) \cdot 0,125 \cdot {(\frac{1}{2})}^{0,125 \cdot 20}

N^{'} (20) = 5,0 \cdot (- 0,6931) \cdot 0,125 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2,5} \approx - 0,4332 \cdot 0,1768 \approx - 0,077 µg/dag

Stigningstallet til tangenten er $N^{'} (20) \approx - 0,077 µg/dag$ .

Praktisk tolkning: Akkurat på dag 20 blir det brutt ned ca. $0,077$ mikrogram jod-131 per dag (momentan endringsrate).

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2022, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Derivasjon, Graf

Nedbrytning av radioaktivt jod-131

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Nedbrytning av radioaktivt jod-131

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Nedbrytning av radioaktivt jod-131

Nedbrytning av radioaktivt jod-131

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer