Jeg velger to andregradfunksjoner som begge har bunnpunkt på $y$-aksen, og en horisontal linje som lukker kurven øverst. Funksjonsuttrykkene er

Definisjonsområder og grensepunkter

Jeg bestemmer definisjonsområdene slik at de tre grafene møtes og danner en lukket kurve:

• $f$ er definert for $x\in ⟨-2\sqrt{2},0⟩$
• $g$ er definert for $x\in ⟨0,2⟩$
• $h$ er definert for $x\in ⟨-2\sqrt{2},2⟩$

Punktet $C=(0,3)$ er der $f$ og $g$ møtes:

De to grafene har altså same funksjonsverdi i $x=0$, og kurven er sammenhengende her.

Punktene A og B

Punkt $A$ er der $f$ og $h$ møtes. Jeg setter $f(x)=11$:

(tar den negative løsningen siden $f$ er definert for $x\le 0$).

Punkt $B$ er der $g$ og $h$ møtes. Jeg setter $g(x)=11$:

Begge punktene har $y$-koordinat $11$, så kravet om at $A$ og $B$ har samme $y$-koordinat er oppfylt.

Bunnpunkter på $y$-aksen

$f(x)=x^2+3$ er en parabel som åpner oppover. Bunnpunktet er der $f^{\prime }(x)=2x=0$, altså $x=0$. Bunnpunktet er $(0,3)$, som ligger på $y$-aksen.

$g(x)=2x^2+3$ er også en parabel som åpner oppover. Bunnpunktet er der $g^{\prime }(x)=4x=0$, altså $x=0$. Bunnpunktet er $(0,3)$, som ligger på $y$-aksen.

Begge de to parabler har altså bunnpunkt på $y$-aksen, slik oppgaven krever.

Den lukkede kurven

Grafene danner en lukket kurve i tre deler:

1. $f$: fra $A=(-2\sqrt{2},11)$ ned til $C=(0,3)$ (venstre parabelgren)
2. $g$: fra $C=(0,3)$ opp til $B=(2,11)$ (høyre parabelgren, brattere)
3. $h$: horisontal linje fra $B=(2,11)$ tilbake til $A=(-2\sqrt{2},11)$ (toppen)

Figuren nedenfor viser den lukkede kurven med $f$ i blått, $g$ i grønt og $h$ i rødt.