Lotto med 34 kuler og sju vinnertall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I pengespillet Lotto legges 34 kuler i en beholder. Hver kule er nummerert med ett av tallene fra 1 til 34. Sju kuler trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Tallene på de sju kulene er vinnertallene.

For hånd

Forklar at sannsynligheten for at nøyaktig 4 av vinnertallene er mindre enn 10, er gitt ved

\frac{(\binom{9}{4}) \cdot (\binom{25}{3})}{(\binom{34}{7})}

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at 3 eller færre av vinnertallene er mindre enn 10.

Vi lar $p$ være sannsynligheten for at tallet 11 ikke er blant vinnertallene i en spilleomgang.

Kalkulator

Vis at $p \approx 0,794$ .

Kåre følger med i Lotto. I løpet av de 10 første spilleomgangene et år blir tallet 11 ikke trukket ut en eneste gang.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at dette skulle skje.

Fasit

Forklaring, se løsningsforslag.

$P (X \leq 3) \approx 0,9387$

$p = \frac{27}{34} \approx 0,794$

$P \approx 0,0997$

LøsningsforslagKI-generert

Av de $34$ kulene er $9$ stykker nummerert med et tall $mindre enn 10$ (tallene $1, 2, \dots, 9$ ), og $25$ stykker er nummerert med et tall $større enn eller lik 10$ (tallene $10, 11, \dots, 34$ ).

Vi skal trekke $7$ kuler totalt, uten tilbakelegging. Antall måter å velge nøyaktig $4$ av de $9$ «små» tallene på er $(\binom{9}{4})$ , og de resterende $3$ vinnertallene må da komme fra de $25$ «store» tallene, noe som kan gjøres på $(\binom{25}{3})$ måter. Ved multiplikasjonsprinsippet er antall gunstige utfall

(\binom{9}{4}) \cdot (\binom{25}{3})

Det totale antallet måter å trekke $7$ kuler av $34$ på (uten hensyn til rekkefølge) er $(\binom{34}{7})$ . Siden alle utfall er like sannsynlige, blir sannsynligheten for nøyaktig $4$ vinnertall mindre enn $10$

P (X = 4) = \frac{(\binom{9}{4}) \cdot (\binom{25}{3})}{(\binom{34}{7})}

som er det som skulle vises. Dette er en hypergeometrisk sannsynlighet, siden trekningen skjer uten tilbakelegging fra en populasjon delt i to grupper («mindre enn 10» og «minst 10»).

Vi skal finne sannsynligheten for at $3$ eller færre av vinnertallene er mindre enn $10$ , altså $P (X \leq 3)$ der $X$ er antall vinnertall mindre enn $10$ . Ved samme resonnement som i a) er

P (X = j) = \frac{(\binom{9}{j}) \cdot (\binom{25}{7 - j})}{(\binom{34}{7})}

Vi summerer for $j = 0, 1, 2, 3$ :

P (X \leq 3) = \sum_{j = 0}^{3} \frac{(\binom{9}{j}) \cdot (\binom{25}{7 - j})}{(\binom{34}{7})}

Beregnet i GeoGebra CAS:

Vi ser fra linje 1 at $SannsynlighetB \approx 0,93871$ , altså

P (X \leq 3) \approx 0,9387

La $p$ være sannsynligheten for at tallet $11$ ikke er blant de $7$ vinnertallene i en spilleomgang. Da må alle $7$ vinnertallene trekkes blant de $33$ andre tallene, mens totalt antall måter å trekke $7$ tall av $34$ på fortsatt er $(\binom{34}{7})$ . Dette gir

p = \frac{(\binom{33}{7})}{(\binom{34}{7})}

Fra linje 2 i CAS-utklippet over ser vi at $p \approx 0,79412$ . Vi kan også forenkle uttrykket eksakt:

p = \frac{(\binom{33}{7})}{(\binom{34}{7})} = \frac{33! / (7! \cdot 26!)}{34! / (7! \cdot 27!)} = \frac{33! \cdot 27!}{34! \cdot 26!} = \frac{27}{34}

Dermed er

p = \frac{27}{34} \approx 0,794

som skulle vises.

Utfallet i hver spilleomgang er uavhengig av de andre omgangene, og sannsynligheten for at tallet $11$ ikke trekkes ut i én omgang er $p = \frac{27}{34}$ . Sannsynligheten for at tallet $11$ ikke trekkes ut i noen av de $10$ første omgangene, blir dermed

P = p^{10} = {(\frac{27}{34})}^{10}

Fra linje 3 i CAS-utklippet ser vi at $SannsynlighetD \approx 0,09974$ , altså

P \approx 0,0997

Sannsynligheten for at tallet $11$ skal utebli i alle de $10$ første spilleomgangene, er dermed omtrent $9,97 %$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2016, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet, Binomisk fordeling

Lotto med 34 kuler og sju vinnertall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Lotto med 34 kuler og sju vinnertall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Lotto med 34 kuler og sju vinnertall

Lotto med 34 kuler og sju vinnertall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer