Logistisk vekstmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser folketallet på et lite tettsted, noen år i perioden 1960–1980.

År	1960	1961	1963	1965	1967	1971	1975	1977	1980
Folketall	500	604	852	1043	1510	2163	2544	2639	2715

Krever PC

Bruk informasjonen til å lage en modell $F$ på formen

F (t) = \frac{B}{1 + a \cdot e^{- k t}}

for antall personer $F (t)$ som bodde på dette tettstedet $t$ år etter 1960. Vurder modellens gyldighetsområde.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem $F^{'} (12)$ og $F^{''} (12)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Når økte antall personer som bodde på dette tettstedet, med mer enn 150 personer per år ifølge modellen?

Fasit

$F (t) = \frac{2841}{1 + 5,08 \cdot e^{- 0,247 t}}$

$F^{'} (12) \approx 115$ pers/år, $F^{''} (12) \approx - 16,7$ (veksten avtar)

$t \in (3,33, 9,82)$ , dvs. ca. 1963–1970

Løsningsforslag

Vi plotter datapunktene i GeoGebra og bruker Regresjon → Logistisk til å tilpasse en logistisk modell på formen $F (t) = \frac{B}{1 + a \cdot e^{- k t}}$ .

Regresjonen gir (avrundede verdier):

F (t) = \frac{2841}{1 + 5,08 \cdot e^{- 0,247 t}}

Modell: $F (t) = \frac{2841}{1 + 5,08 \cdot e^{- 0,247 t}}$

Gyldighetsområde: Dataene strekker seg fra 1960 til 1980 ( $t \in [0, 20]$ ). Modellen gir rimelige resultater i dette intervallet. Utenfor dette vil vi ha større usikkerhet – særlig for $t ≫ 20$ der befolkningstallet ifølge modellen nærmer seg metningsgrensen $B \approx 2841$ .

Vi deriverer $F (t)$ og evaluerer i GeoGebra CAS:

F^{'} (t) = \frac{B \cdot k \cdot a \cdot e^{- k t}}{{(1 + a \cdot e^{- k t})}^{2}}

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1b

$F^{'} (12) \approx 115$ personer per år.

Praktisk tolkning: I 1972 (dvs. $t = 12$ ) økte befolkningstallet med omtrent 115 personer per år.

$F^{''} (12) \approx - 16,7$ (personer per år) per år.

Praktisk tolkning: $F^{''} (12) < 0$ betyr at veksthastigheten er avtagende i 1972 – befolkningsveksten er på vei ned fra toppen. (Vendepunktet, der veksthastigheten er størst, inntreffer ved $t \approx 6,6$ , dvs. rundt 1966–1967.)

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Vi har allerede uttrykket for $F^{'} (t)$ fra kvotientregelen:

F^{'} (t) = \frac{B \cdot k \cdot a \cdot e^{- k t}}{{(1 + a \cdot e^{- k t})}^{2}}

Med $B \approx 2841$ , $a \approx 5,08$ og $k \approx 0,247$ setter vi inn $t = 12$ på kalkulatoren:

e^{- 0,247 \cdot 12} = e^{- 2,964} \approx 0,0517

F^{'} (12) = \frac{2841 \cdot 0,247 \cdot 5,08 \cdot 0,0517}{{(1 + 5,08 \cdot 0,0517)}^{2}} \approx \frac{184,3}{1,59} \approx 115 personer per år

For $F^{''} (t)$ deriverer vi $F^{'} (t)$ på nytt med produkt- og kjerneregelen. Setter vi $u = e^{- k t}$ , forenkler uttrykket til

F^{''} (t) = B \cdot a \cdot k^{2} \cdot \frac{u (a \cdot u - 1)}{{(1 + a \cdot u)}^{3}}

Med $u = e^{- 2,964} \approx 0,0517$ og $t = 12$ :

F^{''} (12) = 2841 \cdot 5,08 \cdot {0,247}^{2} \cdot \frac{0,0517 \cdot (5,08 \cdot 0,0517 - 1)}{{(1 + 5,08 \cdot 0,0517)}^{3}} \approx \frac{- 33,6}{2,01} \approx - 16,7

Begge svarene stemmer med hovedløsningen, og tolkningen er den samme: veksthastigheten var ca. 115 personer per år i 1972, og den avtok med ca. 16,7 (personer per år) per år.

Vi setter $F^{'} (t) = 150$ og løser i GeoGebra CAS:

F^{'} (t) = 150

GeoGebra CAS løsning for oppgave 2-1c

Løsningene er $t \approx 3,33$ og $t \approx 9,82$ .

Siden $F^{'} (t)$ stiger mot maksimum og deretter synker, er $F^{'} (t) > 150$ for $t \in (3,33, 9,82)$ , det vil si fra ca. midten av 1963 til slutten av 1969 økte befolkningstallet med mer enn 150 personer per år.

$t \in (3,33, 9,82)$ , dvs. fra ca. 1963 til 1970.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

1 poeng for å finne modellen og 1 poeng for å vurdere gyldighetsområde.

1 poeng for å finne $F^{'} (12)$ og $F^{''} (12)$ og 1 poeng for den praktiske tolkningen. Kandidater som finner en av verdiene og har en praktisk tolkning av den, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten svare et tidsintervall.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2025, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Logistisk funksjon, Modellering, Derivasjon, Regresjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

Logistisk vekstmodell

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk vekstmodell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk vekstmodell

Logistisk vekstmodell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer