Vi nummererer likningene:

$$\begin{aligned} 5x + y + 2z &= 0 \quad (1)\\ 2x + 3y + z &= 3 \quad (2)\\ 3x + 2y - z &= -3 \quad (3) \end{aligned}$$

Steg 1: Uttrykk $y$ fra likning (1)

$$y = -5x - 2z$$

Steg 2: Sett inn i likning (2)

$$\begin{aligned} 2x + 3(-5x - 2z) + z &= 3 \\ 2x - 15x - 6z + z &= 3 \\ -13x - 5z &= 3 \quad (4) \end{aligned}$$

Steg 3: Sett inn i likning (3)

$$\begin{aligned} 3x + 2(-5x - 2z) - z &= -3 \\ 3x - 10x - 4z - z &= -3 \\ -7x - 5z &= -3 \quad (5) \end{aligned}$$

Steg 4: Trekk likning (5) fra likning (4)

$$\begin{aligned} (-13x - 5z) - (-7x - 5z) &= 3 - (-3) \\ -13x - 5z + 7x + 5z &= 6 \\ -6x &= 6 \\ x &= -1 \end{aligned}$$

Steg 5: Finn $z$ ved innsetting i likning (5)

$$\begin{aligned} -7 \cdot (-1) - 5z &= -3 \\ 7 - 5z &= -3 \\ -5z &= -10 \\ z &= 2 \end{aligned}$$

Steg 6: Finn $y$ ved innsetting i $y = -5x - 2z$

$$y = -5 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$$

Svar: $\underline{\underline{x = -1, \quad y = 1, \quad z = 2}}$