Lineær optimering for leketøysfabrikk med dukker og lekebiler
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Ingen av deloppgavene kan løses helt uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
I denne oppgaven skal du bruke lineær optimering.
En leketøysfabrikk lager to populære leker, en dukke og en lekebil.
Fabrikken har tre avdelinger, én for produksjon, én for maling og én for montering av lekene.
Nedenfor ser du en oversikt over nødvendig tidsbruk per leke og antall arbeidstimer som kan brukes i hver av de tre avdelingene.
| Avdeling | Arbeidstimer per dukke | Arbeidstimer per lekebil | Tilgjengelige arbeidstimer |
|---|---|---|---|
| Produksjon | 0,5 | 0,25 | 700 |
| Maling | 1 | 0,25 | 1 100 |
| Montering | 0,2 | 0,5 | 1 200 |
Hver dukke kan selges for 900 kroner, mens hver lekebil kan selges for 300 kroner. Vi forutsetter at alt som produseres, blir solgt.
Hvor mange av hver leke vil du anbefale fabrikken å lage når de ønsker at den totale inntekten skal bli så høy som mulig? (Denne oppgaven teller som tre delspørsmål.)
Hva er den største inntekten fabrikken kan oppnå?
Fasit
LøsningsforslagKI-generert
La være antall dukker og være antall lekebiler som produseres.
Restriksjonene kommer fra at antall arbeidstimer som brukes i hver avdeling, ikke kan overstige det som er tilgjengelig:
Inntekten som skal maksimeres, er gitt ved objektfunksjonen
Vi tegner de tre restriksjonslinjene i et koordinatsystem og finner det tillatte området — området som oppfyller alle restriksjonene samtidig. Det tillatte området er femkanten i figuren under, med hjørner i
Maksimum av en lineær objektfunksjon over et slikt tillatt område finnes alltid i et av hjørnene. Vi setter derfor inn koordinatene til hvert hjørne i :
| Hjørne | $I(x,y) = 900x + 300y$ |
|---|---|
| $A(0,0)$ | $0 \, \mathrm{kr}$ |
| $B(1100,0)$ | $990\,000 \, \mathrm{kr}$ |
| $\textcolor{tomato}{C(800,1200)}$ | $\textcolor{tomato}{1\,080\,000 \, \mathrm{kr}}$ |
| $D(250,2300)$ | $915\,000 \, \mathrm{kr}$ |
| $E(0,2400)$ | $720\,000 \, \mathrm{kr}$ |
Den røde, stiplede linjen i figuren viser objektfunksjonslinjen . Den berører det tillatte området kun i hjørnet , som stemmer med at inntekten er størst der.
Størst inntekt oppnås altså i punktet .
Fra tabellen over ser vi at den høyeste inntekten oppnås i punktet :
Sensorveiledning
Oppgaven gir til sammen 7 poeng
Her forventes at eleven definerer variablene, setter opp alle de fem ulikhetene og uttrykket for inntekten.