En produsent leverer en bestemt type temperaturfølere. Vi lar $X$ være levetiden til en tilfeldig valgt temperaturføler av denne typen. Produsenten oppgir at $X$ er normalfordelt med forventningsverdi $\mu =12$ år og standardavvik $\sigma =\mathrm{1,5}$ år.

a) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Vis at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt temperaturføler har en levetid som er kortere enn 10 år, er $p\approx \mathrm{0,0912}$.

Når produsenten bytter ut en defekt temperaturføler, noterer de hvor lang levetid den har hatt. Når produsenten gjennomfører en kvalitetskontroll av de defekte temperaturfølerne, plukker de tilfeldig ut 225 følere.

I en tilfeldig kvalitetskontroll lar vi $Y$ være antall enheter som har hatt en levetid som er kortere enn 10 år. Vi går ut fra at $Y$ er binomisk fordelt.

b) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Bestem $P(Y\ge 21)$

Produsenten har mistanke om at levetiden til temperaturfølerne er kortere enn det de oppgir. De vil derfor gjennomføre en kvalitetskontroll.

c) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Sett opp en hypotesetest som kan brukes i denne situasjonen.

I kvalitetskontrollen viser det seg at den gjennomsnittlige levetiden til de 225 temperaturfølerne var 11,78 år.

d) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Utfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for mistanken til produsenten. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.

Fasit

a)

$P(X<10)\approx \mathrm{0,0912}$

b)

$P(Y\ge 21)\approx \mathrm{0,49}$

c)

$H_0:\mu =12$, $H_1:\mu <12$

d)

$P$-verdi $\approx \mathrm{0,014}<\mathrm{0,05}$. Vi forkaster $H_0$.

LøsningsforslagKI-generert

a)

$X$ er normalfordelt med $\mu =12$ og $\sigma =\mathrm{1,5}$.

$$P(X<10)=P(Z<\frac{10-12}{\mathrm{1,5}})=P(Z<-\mathrm{1,33})=\mathrm{\Phi }(-\mathrm{1,33})\approx \underline{\underline{\mathrm{0,0912}}}$$

b)

$Y$ er binomisk fordelt med $n=225$ og $p=\mathrm{0,0912}$.

Vi bruker normalapproksimasjon:

$${\mu }_Y=np=225\cdot \mathrm{0,0912}=\mathrm{20,52}$$

$${\sigma }_Y=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{225\cdot \mathrm{0,0912}\cdot \mathrm{0,9088}}\approx \mathrm{4,32}$$

Med halvkorreksjon:

$$P(Y\ge 21)\approx P(Z\ge \frac{\mathrm{20,5}-\mathrm{20,52}}{\mathrm{4,32}})=P(Z\ge -\mathrm{0,005})\approx \underline{\underline{\mathrm{0,50}}}$$

c)

Produsenten har mistanke om at levetiden er kortere enn oppgitt ($\mu =12$).

$$H_0:\mu =12$$

$$H_1:\mu <12$$

Vi tester med gjennomsnittlig levetid $\bar{X}$ fra utvalget. Under $H_0$ er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med ${\mu }_{\bar{X}}=12$ og ${\sigma }_{\bar{X}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\sqrt{225}}}=\mathrm{0,1}$.

d)

Den gjennomsnittlige levetiden i utvalget er $\bar{x}=\mathrm{11,78}$ år.

$$z=\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}=\frac{\mathrm{11,78}-12}{\mathrm{1,5}/\sqrt{225}}=\frac{-\mathrm{0,22}}{\mathrm{0,1}}=-\mathrm{2,20}$$

$$P\text{-verdi}=\mathrm{\Phi }(-\mathrm{2,20})\approx \mathrm{0,014}$$

Siden $P$-verdien $\approx \mathrm{0,014}<\mathrm{0,05}$, forkaster vi $H_0$ på 5 % signifikansnivå.

Det er grunnlag for å si at levetiden til temperaturfølerne er kortere enn det produsenten oppgir.