Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Heron av Alexandria var en ingeniør som fant en formel for sammenhengen mellom arealet av en trekant og lengden av de tre sidene i trekanten.

Rettvinklet trekant med en innskrevet sirkel med sentrum P. Sidene er merket a, b og c, og fra P går det linjestykker merket r vinkelrett ned på hver av de tre sidene

Herons formel:

A = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}

der

s = \frac{a + b + c}{2}

Kalkulator

Sett $a = 10 m$ , $b = 8 m$ , $c = 6 m$ , og bruk Herons formel til å regne ut arealet $A$ av figuren ovenfor.

For hånd

Ta utgangspunkt i figuren ovenfor, og vis at radius i den innskrevne sirkelen på figuren ovenfor kan uttrykkes som $r = \frac{2 A}{a + b + c}$

Fasit

$A = 24 m^{2}$

$r = \frac{2 A}{a + b + c}$ (vist ved å dele trekanten i tre deltrekanter med høyde $r$ )

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $a = 10 m$ , $b = 8 m$ og $c = 6 m$ inn i formelen for $s$ :

s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 8 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12

Deretter setter vi $s = 12$ sammen med $a$ , $b$ og $c$ inn i Herons formel:

\begin{matrix} A & = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \\ A & = \sqrt{12 \cdot (12 - 10) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 6)} \\ A & = \sqrt{12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6} \\ A & = \sqrt{576} \\ A & = 24 \end{matrix}

Svar: $A = 24 m^{2}$

Punktet $P$ er innsenteret i trekanten, altså skjæringspunktet mellom de tre vinkelhalveringslinjene. Fra figuren ser vi at $P$ har samme avstand $r$ til alle de tre sidene $a$ , $b$ og $c$ — dette er nettopp radien i den innskrevne sirkelen, siden sirkelen tangerer hver side.

Vi kan dele den store trekanten $A B C$ i tre mindre deltrekanter ved å trekke linjestykker fra $P$ til hvert av hjørnene. Hver deltrekant har én av sidene $a$ , $b$ eller $c$ som grunnlinje, og høyden i alle tre deltrekantene er $r$ (avstanden fra $P$ til den motstående siden).

Arealet av hver deltrekant blir da:

A_{a} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r A_{b} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r A_{c} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r

Det totale arealet $A$ av trekant $A B C$ er summen av de tre deltrekantene:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r + \frac{1}{2} \cdot b \cdot r + \frac{1}{2} \cdot c \cdot r = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c)

Nå løser vi likningen for $r$ :

\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c) \\ 2 \cdot A & = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c) \\ 2 A & = r \cdot (a + b + c) \\ \frac{2 A}{(a + b + c)} & = \frac{r \cdot (a + b + c)}{(a + b + c)} \\ \frac{2 A}{a + b + c} & = r \end{matrix}

Dermed har vi vist at

r = \frac{2 A}{a + b + c}

Som en kontroll kan vi sette inn tallene fra a): $r = \frac{2 \cdot 24}{10 + 8 + 6} = \frac{48}{24} = 2 m$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 10. trinn V2021, del 2, oppgave 8
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Areal og omkrets, Geometri, Formler, Argumentasjon

Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen

Herons formel og radius i den innskrevne sirkelen

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer