Hengekøyer av type A og B med lineær optimering
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Alle deloppgavene kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
En bedrift selger to typer hengekøyer, type A og type B. Disse produseres i de tre avdelingene tilskjæring, sammenstilling og ferdigstilling. Bedriften får solgt alle hengekøyene de klarer å produsere.
La og være antall hengekøyer bedriften produserer per måned av henholdsvis type A og type B.
Bedriften har kommet fram til følgende fem ulikheter som beskriver begrensningene i produksjonen:
Marker i et koordinatsystem området de fem ulikhetene avgrenser.
Salgsprisen per enhet er 800 kroner for type A og 1400 kroner for type B. Bedriften har 70 000 kroner per måned i faste kostnader. I tillegg er det produksjonskostnader per enhet på 580 kroner for type A og 1140 kroner for type B.
Hvor mange hengekøyer av type A og type B må bedriften produsere for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir da det månedlige overskuddet?
For å komme fram til disse ulikhetene har bedriften brukt følgende tabell:
| Tilskjæring | Sammenstilling | Ferdigstilling | |
|---|---|---|---|
| Tid per enhet type A | 36 minutter | 18 minutter | 30 minutter |
| Tid per enhet type B | 36 minutter | 12 minutter | |
| Kapasitet per måned | 1000 timer | 800 timer |
Gjør beregninger og bestem hvilket tall som mangler i hver av de to tomme rutene i tabellen.
Fasit
Se figur i løsningsforslaget – femkant med hjørner , , , og .
LøsningsforslagKI-generert
Vi skal markere området som oppfyller alle de fem ulikhetene samtidig:
De to første ulikhetene sier at og ikke kan være negative, så området ligger i første kvadrant. De tre siste tegnes som rette linjer (ved å skrive dem på formen ), og vi skraverer den siden av hver linje som ulikheten peker mot:
Fellesområdet for alle fem ulikhetene er en femkant (pentagon) med hjørner i , , , og , der de to midterste hjørnene er skjæringspunktene mellom linjeparene og (gir ), og mellom og (gir ).
Overskuddet er (salgspris − produksjonskostnad) per enhet, ganger antall solgte enheter, minus faste kostnader:
Siden er en lineær funksjon, blir det største (eller minste) overskuddet alltid i et av hjørnene i det avgrensede området fra a). Vi setter inn koordinatene til hvert hjørnepunkt:
| Hjørnepunkt $(x,y)$ | $O(x,y) = 220x + 260y - 70\,000$ |
|---|---|
| $(0, 0)$ | $-70\,000$ |
| $(0, 1500)$ | $320\,000$ |
| $(1000, 1000)$ | $\textcolor{seagreen}{410\,000}$ ← størst |
| $(1500, 250)$ | $325\,000$ |
| $(1600, 0)$ | $282\,000$ |
Det største overskuddet får bedriften i hjørnepunktet , altså ved å produsere hengekøyer av type A og av type B. Det månedlige overskuddet blir da kroner.
Ulikhetene i oppgaven kommer fra at tiden som brukes i hver avdeling, ikke kan overstige kapasiteten til avdelingen. Vi ganger opp hver ulikhet med et passende tall for å få den om til minutter/timer og sammenligner med tabellen.
Tilskjæring: Type A bruker minutter, og ulikheten for tilskjæring er . Vi ganger ulikheten med tallet som gjør at koeffisienten foran blir lik :
Her ser vi at type B bruker minutter i tilskjæring, og at kapasiteten er minutter timer, som stemmer med tabellen. Den tomme ruten (tid per enhet type B, tilskjæring) er altså minutter.
Sammenstilling: Type A bruker minutter, og ulikheten for sammenstilling er . Vi ganger med
Dette stemmer med at type B bruker minutter i sammenstilling (som allerede står i tabellen), og kapasiteten blir minutter timer. Den tomme ruten (kapasitet per måned, sammenstilling) er altså timer.