Geometrisk rekke av halvsirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Langs en linje har vi konstruert en rekke halvsirkler som vist på figuren nedenfor. Diameteren til den første halvsirkelen er $2r$ . Videre er diameteren til den neste halvsirkelen halvparten av diameteren til den foregående.

Vi lar $O_n$ være lengden av halvsirkelbue nummer $n$ .

Rekke av halvsirkler med avtagende diameter

Forklar at $O_1 + O_2 + O_3 + \ldots$ blir en uendelig, geometrisk rekke.

Bestem summen av rekken i oppgave a). Kommenter svaret.

Fasit

Uendelig geometrisk rekke med $a_1 = \pi r$ og $k = \frac{1}{2}$

$S = 2\pi r$

LøsningsforslagKI-generert

Diameteren til halvsirkel $n$ er halvparten av diameteren til halvsirkel $n-1$ . Siden diameteren til den første halvsirkelen er $2r$ , er diameteren til halvsirkel $n$ lik $\frac{2r}{2^{n-1}}$ .

Radiusen til halvsirkel $n$ er da:

r_n = \frac{r}{2^{n-1}}

Lengden av halvsirkelbue $n$ er halve omkretsen av en sirkel med radius $r_n$ :

O_n = \pi \cdot r_n = \frac{\pi r}{2^{n-1}}

De første leddene blir:

O_1 = \pi r, \qquad O_2 = \frac{\pi r}{2}, \qquad O_3 = \frac{\pi r}{4}, \qquad \ldots

Vi ser at hvert ledd er forrige ledd multiplisert med $\frac{1}{2}$ :

\frac{O_{n+1}}{O_n} = \frac{\pi r / 2^n}{\pi r / 2^{n-1}} = \frac{1}{2}

Kvotienten er konstant, så $O_1 + O_2 + O_3 + \cdots$ er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1 = \pi r$ og kvotient $k = \dfrac{1}{2}$ .

Siden $|k| = \dfrac{1}{2} < 1$ er rekken konvergent, og summen er:

S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\pi r}{1 - \dfrac{1}{2}} = \frac{\pi r}{\dfrac{1}{2}} = \mathbf{\underline{\underline{2\pi r}}}

Kommentar: Summen $2\pi r$ er lik omkretsen til en hel sirkel med radius $r$ — altså den sirkelen som den første halvsirkelen (med diameter $2r$ ) er halvparten av. Summen av uendelig mange stadig mindre halvsirkelbuer er det dobbelte av den første buen $O_1 = \pi r$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker

Geometrisk rekke av halvsirkler

Sync på tvers av enheter

Geometrisk rekke av halvsirkler

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave