Vi beregner $f(-2)$:

Siden $f(-2)=0$, er $x=-2$ et nullpunkt for $f$. Ifølge faktorteoremet betyr dette at $(x+2)$ er en faktor i $f(x)$, og divisjonen $f(x):(x+2)$ går opp uten rest.

Vi utfører polynomdivisjon:

Dermed kan $f(x)$ faktoriseres som:

Nullpunktene er der $f(x)=0$:

• $x+2=0\Rightarrow x=-2$
• ${(x-4)}^2=0\Rightarrow x=4$

Nullpunktene er $(-2,0)$ og $(4,0)$.

Vi deriverer $f(x)=x^3-6x^2+32$:

Stasjonære punkter der $f^{\prime }(x)=0$:

Vi bruker andrederivert for å klassifisere:

$x=0$: $f^{\prime \prime }(0)=-12<0$ — toppunkt. $f(0)=32$.

$x=4$: $f^{\prime \prime }(4)=12>0$ — bunnpunkt. $f(4)=0$.

Grafen til $f$ har toppunkt $(0,32)$ og bunnpunkt $(4,0)$.

Vendepunkt der $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Fortegnet til $f^{\prime \prime }(x)$ skifter fra negativ til positiv i $x=2$, så dette er et vendepunkt.

Grafen har vendepunkt $(2,16)$.

Fra drøftingen vet vi:

• Nullpunkter: $(-2,0)$ og $(4,0)$
• Toppunkt: $(0,32)$
• Bunnpunkt: $(4,0)$ — merk at bunnpunktet faller sammen med nullpunktet i $x=4$, og $x=4$ er et dobbelt nullpunkt, så grafen er tangent til $x$-aksen der
• Vendepunkt: $(2,16)$