Vi beregner $f(-2)$:

Siden $f(-2) = 0$, er $x = -2$ et nullpunkt for $f$. Ifølge faktorteoremet betyr dette at $(x+2)$ er en faktor i $f(x)$, og divisjonen $f(x) : (x+2)$ går opp uten rest.

Vi utfører polynomdivisjon:

Dermed kan $f(x)$ faktoriseres som:

Nullpunktene er der $f(x) = 0$:

• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $(x-4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4$

Nullpunktene er $(-2, 0)$ og $(4, 0)$.

Vi deriverer $f(x) = x^3 - 6x^2 + 32$:

Stasjonære punkter der $f'(x) = 0$:

Vi bruker andrederivert for å klassifisere:

$x = 0$: $f''(0) = -12 < 0$ — toppunkt. $f(0) = 32$.

$x = 4$: $f''(4) = 12 > 0$ — bunnpunkt. $f(4) = 0$.

Grafen til $f$ har toppunkt $(0, 32)$ og bunnpunkt $(4, 0)$.

Vendepunkt der $f''(x) = 0$:

Fortegnet til $f''(x)$ skifter fra negativ til positiv i $x = 2$, så dette er et vendepunkt.

Grafen har vendepunkt $(2, 16)$.

Fra drøftingen vet vi:

• Nullpunkter: $(-2, 0)$ og $(4, 0)$
• Toppunkt: $(0, 32)$
• Bunnpunkt: $(4, 0)$ — merk at bunnpunktet faller sammen med nullpunktet i $x = 4$, og $x = 4$ er et dobbelt nullpunkt, så grafen er tangent til $x$-aksen der
• Vendepunkt: $(2, 16)$