Funksjonsdrøfting av (x-2)e^x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x-2)e^x

Bestem eventuelle nullpunkter til $f$ .

Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$\underline{\underline{x = 2}}$ , nullpunkt $(2,\, 0)$

Bunnpunkt $\underline{\underline{(1,\, -e)}}$ . Ingen toppunkt.

Vendepunkt $\underline{\underline{(0,\, -2)}}$ .

Se skisse under.

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser $f(x) = 0$ :

(x-2)e^x = 0

Siden $e^x > 0$ for alle $x$ , må faktoren $(x-2)$ være lik null:

x - 2 = 0 \implies \textbf{x = 2}

Nullpunkt: $(2,\, 0)$ .

Vi deriverer med produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ , der $u = x-2$ og $v = e^x$ :

f'(x) = 1 \cdot e^x + (x-2) \cdot e^x = e^x\left(1 + x - 2\right) = (x-1)e^x

Vi løser $f'(x) = 0$ :

(x-1)e^x = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1

Fortegnsanalyse av $f'(x) = (x-1)e^x$ :

$f$ har et bunnpunkt i $x = 1$ .

f(1) = (1-2)e^1 = -e

Bunnpunkt: $\underline{\underline{(1,\, -e)}}$ . Ingen toppunkt.

Vi deriverer $f'(x) = (x-1)e^x$ på nytt med produktregelen:

f''(x) = 1 \cdot e^x + (x-1) \cdot e^x = e^x\left(1 + x - 1\right) = x \cdot e^x

Vi løser $f''(x) = 0$ :

x \cdot e^x = 0 \implies x = 0

Fortegnsanalyse av $f''(x) = x \cdot e^x$ :

$f''$ skifter fortegn i $x = 0$ , så det er et vendepunkt her.

f(0) = (0-2)e^0 = -2

Vendepunkt: $\underline{\underline{(0,\, -2)}}$ .

Vi bruker resultatene fra a)–c) til å skissere grafen:

For $x \to -\infty$ : $f(x) = (x-2)e^x \to 0^-$ (grafen nærmer seg $x$ -aksen nedenfra)
Vendepunkt $(0, -2)$ — kurven skifter fra konkav til konveks
Bunnpunkt $(1, -e \approx -2{,}72)$
Nullpunkt $(2, 0)$ — grafen krysser $x$ -aksen
For $x \to +\infty$ : $f(x) \to +\infty$ (vokser raskt)

Skisse av f

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter