Kan brøken forkortes?

En brøk $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ kan forkortes hvis $Q(x)$ er en faktor i $P(x)$, det vil si hvis telleren er lik null for nevnerens nullpunkt.

Nevneren $x - 3$ har nullpunkt $x = 3$. Vi setter inn i telleren:

$$x^3 - 2x^2 - 3x \Big|_{x=3} = 27 - 18 - 9 = 0$$

Siden telleren er null for $x = 3$, er $(x-3)$ en faktor i telleren, og brøken kan forkortes.

Polynomdivisjon:

$$\begin{aligned} (x^3 - 2x^2 - 3x) : (x - 3) &= x^2 + x \\[6pt] x^3 - 3x^2 &\quad \text{(trekker fra)} \\ \hline x^2 - 3x &\\ x^2 - 3x &\quad \text{(trekker fra)} \\ \hline 0 & \end{aligned}$$

Vi kan også vise dette som langdivisjon:

$$\require{enclose} x^3 - 2x^2 - 3x \enclose{longdiv}{:(x-3)}$$

Trinn for trinn:

• $x^3 \div x = x^2$, så $x^2 \cdot (x-3) = x^3 - 3x^2$
• Rest: $(x^3 - 2x^2) - (x^3 - 3x^2) = x^2$, ta ned $-3x$: $\; x^2 - 3x$
• $x^2 \div x = x$, så $x \cdot (x-3) = x^2 - 3x$
• Rest: $(x^2 - 3x) - (x^2 - 3x) = 0$

Divisjonen går opp uten rest, og vi får:

$$\frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{x - 3} = x^2 + x = \mathbf{\underline{\underline{x(x+1)}}}$$