For at situasjonen skal kunne regnes som et binomisk forsøk, må vi gå ut fra at

• det er et fast antall forsøk, her $n=12$ elever,
• hvert forsøk (hver elev) bare har to mulige utfall: bestå eller ikke bestå,
• sannsynligheten for å bestå er den samme i hvert forsøk, $p=\mathrm{0,74}$,
• forsøkene (elevene) er uavhengige av hverandre — om én elev består, påvirker ikke sannsynligheten for at en annen elev består.

Det siste kravet er egentlig en forenkling: elevene går på samme skole og kan ha hatt samme kjørelærer eller øvingsforhold, slik at resultatene i praksis ikke er helt uavhengige. I denne oppgaven ser vi likevel bort fra dette og regner alle 12 elevene som uavhengige forsøk.

La $X$ være antall av de 12 elevene som består oppkjøringen. Da er $X$ binomisk fordelt med $n=12$ og $p=\mathrm{0,74}$.

Vi skal finne $P(X\ge 8)$, altså sannsynligheten for at minst 8 av de 12 består. Dette regner vi ut i CAS som summen av enkeltsannsynlighetene for $X=8,9,10,11,12$:

Fra utklippet (linje 1, PX) ser vi at $P(X\ge 8)\approx \mathrm{0,82103}$.

Svar: Sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen, er $\underline{\underline{P(X\ge 8)\approx \mathrm{82,1}\%}}$.

La $G$ være antall av de 7 guttene som består. Da er $G$ binomisk fordelt med $n=7$ og $p=\mathrm{0,74}$.

Fra utklippet i CAS (linje 2, PG5) er $P(G=5)\approx \mathrm{0,31501}$.

Svar: $\underline{\underline{P(G=5)\approx \mathrm{31,5}\%}}$.

La $J$ være antall av de 5 jentene som består. Da er $J$ binomisk fordelt med $n=5$ og $p=\mathrm{0,74}$.

Fra utklippet (linje 3, PJ4) er $P(J=4)\approx \mathrm{0,38983}$.

Guttene og jentene har oppkjøring uavhengig av hverandre, så $P(G=5\text{ og }J=4)=P(G=5)\cdot P(J=4)$. Fra utklippet (linje 4, PGJ) er

Svar: $\underline{\underline{P(G=5\text{ og }J=4)\approx \mathrm{12,3}\%}}$.

Alle elevene ved den andre skolen bestod. Hvis det var $n$ elever, er sannsynligheten for at alle består ${\mathrm{0,74}}^n$ (siden alle må lykkes uavhengig av hverandre). Vi vet at denne sannsynligheten er mindre enn $2\%$, altså

I CAS løser vi ulikheten ved å ta logaritmen på begge sider:

Fra utklippet (linje 5, n0) er ${\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{0,02})}{\ln (\mathrm{0,74})}}\approx \mathrm{12,99}$. Siden $n$ må være et helt tall, betyr dette at $n\ge 13$.

Kontroll: ${\mathrm{0,74}}^{12}\approx \mathrm{0,0270}$ (over $2\%$), mens ${\mathrm{0,74}}^{13}\approx \mathrm{0,0200}$ (akkurat under $2\%$). Det bekrefter at minst 13 elever må ha hatt oppkjøring den dagen.

Svar: Det må ha vært minst $\underline{\underline{n=13}}$ elever ved skolen den dagen.