Siden $f$ er en tredjegradsfunksjon, er $f^{\prime }$ en andregradsfunksjon — grafen til $f^{\prime }$ er en parabel.

Finner nullpunktene til $f^{\prime }$

Tangentene i figuren forteller oss stigningstallet til $f$ i de punktene de tangerer:

• Den horisontale tangenten gjennom $(-1,6)$ og $(2,6)$ har stigningstall $0$ og tangerer grafen i toppunktet $(-1,6)$. Dermed er $f^{\prime }(-1)=0$.
• Den horisontale tangenten gjennom $(-2,2)$ og $(1,2)$ har også stigningstall $0$ og tangerer grafen i bunnpunktet $(1,2)$. Dermed er $f^{\prime }(1)=0$.

Siden $f^{\prime }$ er en andregradsfunksjon med nullpunkter $x=-1$ og $x=1$, kan vi skrive den på faktorisert form:

Finner konstanten $a$

Den tredje tangenten er skrå og går gjennom punktene $(-1,7)$, $(0,4)$, $(1,1)$ og $(2,-2)$. Stigningstallet til denne linja finner vi f.eks. mellom $(\mathrm{0,4})$ og $(\mathrm{1,1})$:

Denne tangenten rører grafen i punktet $(0,4)$, altså er $f^{\prime }(0)=-3$.

Vi setter $x=0$ inn i uttrykket for $f^{\prime }$:

Siden $f^{\prime }(0)=-3$, får vi

Konklusjon

Vi kan kontrollere svaret: da er $f(x)=x^3-3x+4$, og denne funksjonen går faktisk gjennom alle de avmerkede punktene på grafen, for eksempel $f(-2)=-8+6+4=2$, $f(0)=4$ og $f(2)=8-6+4=6$.

Svar: $\underline{\underline{f^{\prime }(x)=3x^2-3}}$