Derivasjon med logaritme og eksponential Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil. Deriver funksjonene a) f(x)=x4−4lnxf(x) = x^4 - 4\ln xf(x)=x4−4lnx b) g(x)=e2xx+1g(x) = \dfrac{e^{2x}}{x + 1}g(x)=x+1e2x Fasit a) f′(x)=4x3−4xf'(x) = 4x^3 - \dfrac{4}{x}f′(x)=4x3−x4 b) g′(x)=(2x+1)⋅e2x(x+1)2g'(x) = \dfrac{(2x+1) \cdot e^{2x}}{(x+1)^2}g′(x)=(x+1)2(2x+1)⋅e2x LøsningsforslagKI-generert a) f(x)=x4−4lnxf(x) = x^4 - 4\ln xf(x)=x4−4lnx Vi deriverer ledd for ledd: f′(x)=4x3−4xf'(x) = 4x^3 - \frac{4}{x}f′(x)=4x3−x4 b) g(x)=e2xx+1g(x) = \frac{e^{2x}}{x + 1}g(x)=x+1e2x Vi bruker kvotientregelen (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}(vu)′=v2u′v−uv′ med u=e2xu = e^{2x}u=e2x og v=x+1v = x + 1v=x+1: g′(x)=2e2x⋅(x+1)−e2x⋅1(x+1)2=e2x(2x+2−1)(x+1)2=(2x+1)⋅e2x(x+1)2‾‾g'(x) = \frac{2e^{2x} \cdot (x+1) - e^{2x} \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{e^{2x}(2x + 2 - 1)}{(x+1)^2} = \underline{\underline{\frac{(2x+1) \cdot e^{2x}}{(x+1)^2}}}g′(x)=(x+1)22e2x⋅(x+1)−e2x⋅1=(x+1)2e2x(2x+2−1)=(x+1)2(2x+1)⋅e2x OppgavedataKategori1Vanskegrad1Poeng3TemaerDerivasjon, Logaritmer, EksponentialfunksjonKompetansemålAnalysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon