Binomisk fordeling og hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en trafikkstasjon er sannsynligheten $p = 0{,}52$ for at en tilfeldig person består teoriprøven for førerkort.

En dag skal 10 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 7 av disse greier prøven.

En uke skal 100 personer ta teoriprøven. Bestem sannsynligheten for at minst 70 av disse greier prøven.

Myndighetene har mistanke om at elever fra en bestemt kjøreskole jukser. Av de 100 siste elevene fra denne kjøreskolen besto 60 teoriprøven.

Bruk hypotesetesting til å avgjøre om disse tallene støtter mistanken om juks. Bruk signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$P(X_1 \geq 7) \approx 0{,}2067$

$P(X_2 \geq 70) \approx 0{,}0002$

P-verdi $\approx 0{,}066 > 0{,}05$ — kan ikke forkaste $H_0$ ; ikke grunnlag for å si at andelen har økt

LøsningsforslagKI-generert

La $X_1$ være antall personer som består teoriprøven blant de 10.

$X_1$ er binomisk fordelt med $n = 10$ og $p = 0{,}52$ .

Vi ønsker $P(X_1 \geq 7)$ :

P(X_1 \geq 7) = P(X_1 = 7) + P(X_1 = 8) + P(X_1 = 9) + P(X_1 = 10)

Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren (binomisk, $n = 10$ , $p = 0{,}52$ ) og leser av:

P(X_1 \geq 7) \approx \mathbf{\underline{\underline{0{,}2067}}}

Sannsynligheten for at minst 7 av de 10 personene greier prøven er omtrent $20{,}7 \,\%$ .

La $X_2$ være antall personer som består teoriprøven blant de 100.

$X_2$ er binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0{,}52$ .

Vi kan bruke sannsynlighetskalkulatoren direkte (binomisk, $n = 100$ , $p = 0{,}52$ ):

P(X_2 \geq 70) \approx \mathbf{\underline{\underline{0{,}0002}}}

Alternativt med normalapproksimering:

Siden $n = 100$ er stort, kan $X_2$ tilnærmes med en normalfordeling. Vi beregner forventning og standardavvik:

\mu = np = 100 \cdot 0{,}52 = 52

\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \cdot 0{,}52 \cdot 0{,}48} = \sqrt{24{,}96} \approx 5{,}0

$X_2$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 52$ og $\sigma \approx 5{,}0$ .

Med heltallskorreksjon:

P(X_2 \geq 70) \approx P\!\left(X_2 \geq 69{,}5\right) \approx 0{,}0002

Sannsynligheten for at minst 70 av de 100 personene greier prøven er omtrent $0{,}02 \,\%$ .

Vi setter opp en hypotesetest.

Hypoteser:

H_0\colon p = 0{,}52 \qquad H_1\colon p > 0{,}52

Vi har observert at 60 av 100 elever fra den aktuelle kjøreskolen besto teoriprøven.

Testobservator: $X = 60$

Under $H_0$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0{,}52$ .

P-verdien er sannsynligheten for å observere et resultat minst like ekstremt som det observerte, gitt at $H_0$ er sann:

\text{P-verdi} = P(X \geq 60 \mid p = 0{,}52)

Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren (binomisk, $n = 100$ , $p = 0{,}52$ ) og leser av:

\text{P-verdi} \approx 0{,}066

Konklusjon:

Siden p-verdien $\approx 0{,}066 > 0{,}05$ (signifikansnivået), kan vi ikke forkaste $H_0$ .

$\underline{\underline{\text{Det er ikke statistisk grunnlag for å si at andelen som består har økt for elever fra denne kjøreskolen.}}}$

Resultatet (60 av 100) er ikke uvanlig nok til å utelukke tilfeldigheter ved et signifikansnivå på $5 \,\%$ .

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter