Bevis for Pytagoras med kongruente trekanter og areal av trekant ADE

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi skal i denne oppgaven bevise Pytagoras’ setning. Vi starter med en rettvinklet trekant $A B C$ med sidene $a$ , $b$ og $c$ som vist på figuren nedenfor.

Den rettvinklede trekanten ABC til venstre, og til høyre samme trekant med punktene D, E og F og trekantene DEF og ADE

Vi lar punktet $D$ ligge på forlengelsen av $A B$ slik at $∠ B D C = ∠ A C B$ . Vi lar $E$ ligge på forlengelsen av $D C$ slik at $D E = A C = c$ . Punktet $F$ på $A B$ er slik at $∠ D F E = 90 °$ . Se figuren ovenfor.

For hånd

Begrunn at $△ A B C$ er kongruent med $△ D E F$ .

For hånd

Vis at $∠ A C D = 90 °$ .

For hånd

Vis at $A D = a + \frac{b^{2}}{a}$ .

For hånd

Forklar hvordan vi ved arealbetraktninger på $△ A D E$ kan komme fram til følgende sammenheng:

\frac{1}{2} c^{2} = \frac{1}{2} a \cdot (a + \frac{b^{2}}{a})

Bruk dette til å vise at Pytagoras’ setning gjelder.

Fasit

$△ C A B ≅ △ D E F$

$∠ A C D = 90 °$

$A D = a + \frac{b^{2}}{a}$

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ — Pytagoras’ setning er bevist

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker navnene på vinkler og punkter fra figuren i oppgaveteksten. La $θ = ∠ A C B$ . Siden $△ A B C$ er rettvinklet i $B$ , er $∠ B A C = 90 ° - θ$ .

I $△ D E F$ er $∠ D F E = 90 °$ (gitt), og $∠ F D E = ∠ B D C = θ$ (gitt at $∠ B D C = ∠ A C B$ , og $F$ , $B$ , $A$ ligger på samme linje som $D$ , så $∠ F D E$ og $∠ B D C$ er samme vinkel). Vinkelsummen i $△ D E F$ gir da

∠ D E F = 180 ° - 90 ° - θ = 90 ° - θ

Dermed har vi

\begin{matrix} ∠ A C B & = ∠ F D E (= θ) \\ C A & = D E (= c, gitt) \\ ∠ C A B & = ∠ D E F (= 90 ° - θ) \end{matrix}

De to vinklene og den mellomliggende siden i $△ C A B$ er like store som de tilsvarende i $△ D E F$ . Etter kongruenssetningen vinkel-side-vinkel (VSV) er derfor

△ C A B ≅ △ D E F

med korrespondansen $C \leftrightarrow D$ , $A \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow F$ . Spesielt følger det at de tilsvarende sidene $A B$ og $E F$ er like lange:

E F = A B = a

Dette skal vi bruke i oppgave d).

Siden $D$ ligger på forlengelsen av $A B$ , er $A$ , $B$ og $D$ på samme linje, med $B$ mellom $A$ og $D$ . Vinklene $∠ A B C$ og $∠ C B D$ ligger da på hver sin side av linja $A D$ og utgjør til sammen en rett linje ( $180 °$ ):

∠ A B C + ∠ C B D = 180 ° \Rightarrow ∠ C B D = 180 ° - 90 ° = 90 °

I $△ B C D$ er $∠ D B C = 90 °$ og $∠ B D C = θ$ (gitt), så vinkelsummen gir

∠ B C D = 180 ° - 90 ° - θ = 90 ° - θ

Punktet $B$ ligger mellom strålene $C A$ og $C D$ (se figuren), slik at $∠ A C D$ er summen av $∠ A C B$ og $∠ B C D$ :

∠ A C D = ∠ A C B + ∠ B C D = θ + (90 ° - θ) = 90 °

Fra b) vet vi at $∠ C B D = 90 °$ (samme rette vinkel som $∠ A B C$ , siden $C$ , $B$ ligger fast og $A$ , $B$ , $D$ er kolineære). Sammen med $∠ A C B = ∠ B D C = θ$ (gitt) gir dette at $△ A B C$ og $△ C B D$ har to parvis like vinkler:

∠ A B C = ∠ C B D = 90 ° og ∠ A C B = ∠ B D C = θ

Trekantene er da formlike, $△ A B C \sim △ C B D$ (korrespondanse $A \leftrightarrow C$ , $B \leftrightarrow B$ , $C \leftrightarrow D$ ). Forholdet mellom tilsvarende sider gir

\frac{A B}{C B} = \frac{C B}{B D}

\frac{a}{b} = \frac{b}{B D} \Rightarrow B D = \frac{b^{2}}{a}

Siden $B$ ligger mellom $A$ og $D$ , er

A D = A B + B D = a + \frac{b^{2}}{a}

Vi regner ut arealet av $△ A D E$ på to måter.

Metode 1 — grunnlinje $A D$ : Høyden fra $E$ ned på linja $A D$ er $E F$ , siden $∠ D F E = 90 °$ og $F$ ligger på linja $A D$ . Fra a) er $E F = a$ , og fra c) er $A D = a + \frac{b^{2}}{a}$ . Dermed

Areal (△ A D E) = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot E F = \frac{1}{2} \cdot (a + \frac{b^{2}}{a}) \cdot a = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2})

Metode 2 — grunnlinje $D E$ : Linja $D E$ er den samme linja som $D C$ , siden $E$ ligger på forlengelsen av $D C$ . Fra b) er $∠ A C D = 90 °$ , altså står $A C$ vinkelrett på linja $D C$ (og dermed på $D E$ ) med foten nøyaktig i $C$ . Siden $C$ ligger mellom $D$ og $E$ , er $A C$ høyden fra $A$ ned på grunnlinja $D E$ . Med $D E = c$ og $A C = c$ (gitt) blir

Areal (△ A D E) = \frac{1}{2} \cdot D E \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot c \cdot c = \frac{1}{2} c^{2}

De to uttrykkene for arealet må være like:

\frac{1}{2} c^{2} = \frac{1}{2} a \cdot (a + \frac{b^{2}}{a})

Vi ganger med $2$ på begge sider og forenkler høyresiden:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Siden ingen av trinnene ovenfor ( $△ C A B ≅ △ D E F$ , vinkelsum, formlikhet og arealbetraktning) har brukt Pytagoras’ setning, er dette et gyldig, ikke-sirkulært bevis for at

c^{2} = a^{2} + b^{2}

for den rettvinklede trekanten $A B C$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Bevis, Geometri, Formlike trekanter, Pytagoras

Bevis for Pytagoras med kongruente trekanter og areal av trekant ADE

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bevis for Pytagoras med kongruente trekanter og areal av trekant ADE

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bevis for Pytagoras med kongruente trekanter og areal av trekant ADE

Bevis for Pytagoras med kongruente trekanter og areal av trekant ADE

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer