Bakterievekst i avfall

Ved en avfallsplass vil det i et spesifikt avfall utvikles en bakteriekultur. Ved naturlig vekst vil antall bakterier $N$ (i millioner) være gitt ved

N (t) = 0,8 \cdot e^{0,35 t}

Her er $t$ antall dager etter at avfallet ble levert.

Dersom antall bakterier overstiger 15 millioner, regnes avfallet som helsefarlig.

Kalkulator

Hvor lang tid tar det før avfallet blir helsefarlig dersom bakteriekulturen vokser naturlig?

For å dempe bakterieveksten tilsettes det en gitt mengde av et stoff. Antall bakterier i avfallet vil da følge modellen $B$ gitt ved

B (t) = 0,8 \cdot e^{0,35 t - 0,01 t^{2}}

Kalkulator

Avgjør om avfallet noen gang vil bli helsefarlig dersom denne mengden av stoffet tilsettes.

Kalkulator

Når øker antall bakterier raskest ifølge modellen $B$ ? Hvor stor er bakterieveksten per dag da?

Bedriften ønsker å redusere stoffmengden som tilsettes.

En generell modell $S$ for antall bakterier etter $t$ dager er gitt ved

S (t) = 0,8 \cdot e^{0,35 t - k \cdot t^{2}}

Her er $k$ en konstant som er avhengig av hvor mye stoff som tilsettes.

Kalkulator

Hva er den laveste verdien $k$ kan ha, dersom avfallet ikke skal bli helsefarlig?

Fasit

Ca. $8,4$ dager

Ja, $B_{maks} \approx 17,1 > 15$

Etter ca. $10,4$ dager, vekst ca. $1,47$ millioner per dag

$k \approx 0,0105$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer funksjonene i GeoGebra CAS, se utklipp under.

GeoGebra CAS

Vi løser $N (t) = 15$ i CAS (linje 2):

0,8 \cdot e^{0,35 t} = 15

Se TidHelsefarlig i utklippet: $t \approx 8,37$ .

Avfallet blir helsefarlig etter ca. $8,4 dager$ .

Eksponenten i $B (t) = 0,8 \cdot e^{0,35 t - 0,01 t^{2}}$ har maksimum når

\frac{d}{d t} (0,35 t - 0,01 t^{2}) = 0,35 - 0,02 t = 0 ⟹ t = 17,5

Se MaksB i linje 4: $B (17,5) \approx 17,1$ .

Siden $17,1 > 15$ , vil avfallet bli helsefarlig også med denne mengden stoff.

Antall bakterier øker raskest i vendepunktet til $B$ . Se linje 5 i CAS:

Vendepunkt (B) \approx (10,43; 10,37)

Veksten per dag i dette punktet finner vi ved å evaluere $B^{'} (10,43)$ . Se VekstVendepunkt i linje 7:

B^{'} (10,43) \approx 1,47

Bakteriene øker raskest etter ca. $10,4 dager$ , og veksten er da ca. $1,47 millioner per dag$ .

Eksponenten i $S (t) = 0,8 \cdot e^{0,35 t - k t^{2}}$ har maksimum for $t = \frac{0,35}{2 k}$ . Den største verdien av $S$ er

S_{maks} = 0,8 \cdot e^{\frac{{0,35}^{2}}{4 k}} = 0,8 \cdot e^{\frac{0,1225}{4 k}}

For at avfallet ikke skal bli helsefarlig, må $S_{maks} \leq 15$ :

0,8 \cdot e^{\frac{0,1225}{4 k}} = 15

Se linje 8 i CAS: $k \approx 0,01045$ .

Den laveste verdien $k$ kan ha er $k \approx 0,0105$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2022, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Eksponentiell vekst, Derivasjon, Optimering, Modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Bakterievekst i avfall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bakterievekst i avfall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bakterievekst i avfall

Bakterievekst i avfall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer