Badestamp tømmes med kvadratisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kari tapper ut vannet av en badestamp. Volumet $V$ liter av vannet i badestampen $x$ minutter etter at hun har åpnet kranen, er gitt ved

V(x) = 2 \cdot (30 - x)^2 \quad , \quad 0 \leq x \leq 30

Tegn grafen til $V$ .

Hvor lang tid tar det å tappe ut halvparten av vannet?

Hvor mye vann renner i gjennomsnitt ut per minutt fra Kari åpner kranen, til badestampen er tom?

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ når $x = 15$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Se graf nedenfor.

$\underline{\underline{x = 30 - 15\sqrt{2} \approx 8{,}8 \mathrm{~minutter}}}$

$\underline{\underline{-60 \text{~liter per minutt}}}$

$\underline{\underline{V'(15) = -60 \text{~liter per minutt}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har volumfunksjonen

V(x) = 2 \cdot (30 - x)^2 \quad , \quad 0 \leq x \leq 30

der $V$ er volumet i liter og $x$ er antall minutter etter at Kari åpner kranen.

Vi tegner grafen til $V(x)$ i GeoGebra ved å skrive V(x) = 2(30-x)^2 i inntastingsfeltet og begrense visningen til $0 \leq x \leq 30$ .

I GeoGebra:

Skriv V(x) = 2(30-x)^2 i inntastingsfeltet.
Høyreklikk på funksjonen → Egenskaper → Vis objekt kun i intervallet $[0, 30]$ .
Gi aksene passende navn: $x$ -aksen «tid (min)», $y$ -aksen «volum (liter)».

Vi kan merke oss at $V(0) = 2 \cdot 30^2 = 1800$ liter (fullt) og $V(30) = 0$ liter (tomt).

Graf over V(x) = 2(30-x)^2

Badestampen inneholder $V(0) = 1800$ liter til å begynne med. Halvparten av vannet er tappet ut når $V(x) = 900$ liter.

Vi setter opp likningen:

2 \cdot (30 - x)^2 = 900

\textcolor{steelblue}{(30 - x)^2} = 450

\textcolor{steelblue}{30 - x} = \pm\sqrt{450} = \pm 15\sqrt{2}

x = 30 \mp 15\sqrt{2}

Dette gir to løsninger:

x = 30 - 15\sqrt{2} \approx 8{,}8 \quad \text{eller} \quad x = 30 + 15\sqrt{2} \approx 51{,}2

Siden $x$ må ligge i intervallet $[0, 30]$ , er den eneste gyldige løsningen $x = 30 - 15\sqrt{2} \approx 8{,}8$ .

Det tar omtrent $\underline{\underline{8{,}8 \mathrm{~minutter}}}$ å tappe ut halvparten av vannet.

Gjennomsnittlig vekstfart fra $x = 0$ til $x = 30$ er

\frac{V(30) - V(0)}{30 - 0} = \frac{0 - 1800}{30} = \frac{-1800}{30} = -60

I gjennomsnitt renner det ut $\underline{\underline{60 \text{~liter per minutt}}}$ fra Kari åpner kranen til badestampen er tom.

(Negativ vekstfart betyr at volumet minker — det stemmer med at vannet tapper ut.)

Den momentane vekstfarten er den deriverte $V'(x)$ . Vi deriverer:

V(x) = 2(30 - x)^2 = 2(900 - 60x + x^2) = 1800 - 120x + 2x^2

V'(x) = -120 + 4x

Ved $x = 15$ :

V'(15) = -120 + 4 \cdot 15 = -120 + 60 = -60

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{-60 \text{~liter per minutt}}}$ når $x = 15$ .

Praktisk tolkning: Etter 15 minutter tapper badestampen ut vann med en fart på 60 liter per minutt. Det negative fortegnet viser at volumet minker.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter