Avgjør påstander om funksjoner

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Hvis $x > 0$ , så er $(\ln x)^4 = 4 \ln x$ .

Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må funksjonen være enten strengt voksende eller strengt avtakende.

Fasit

Stemmer ikke

Stemmer

Stemmer ikke

Løsningsforslag

\begin{aligned} \left( \ln x \right)^{4}&=\ln x\cdot \ln x \cdot \ln x \cdot \ln x \\ 4 \ln x &= \ln x + \ln x + \ln x + \ln x \end{aligned}

Det ser ikke ut til at disse er like. La oss finne et eksempel for å motbevise påstanden.

\begin{aligned} (\ln e)^{4}&=1^{4}=1 \\ 4 \ln e &= 4 \cdot 1 =4 \end{aligned}

Påstanden stemmer ikke. Vi har funnet et moteksempel.

En fjerdegradsfunksjon har en tredjegradsfunksjon som sin deriverte. En tredjegradsfunksjon vil alltid krysse $x$ -aksen i minst ett punkt siden $x^3$ gjør negative $x$ -verdier til veldig negative $y$ -verdier, og den gjør positive $x$ -verdier til veldig positive $y$ -verdier.

Siden tredjegradsfunksjonen krysser $x$ -aksen så må den deriverte bytte fortegn minst en gang. Det betyr at en fjerdegradsfunksjon må ha minst ett ekstremalpunkt.

Påstanden stemmer.

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, er det eneste kravet at funksjonen er injektiv (én-til-én), det vil si at to ulike $x$ -verdier aldri gir samme funksjonsverdi $y$ .

Selv om de fleste kontinuerlige funksjoner på et intervall må være monotone for å ha en invers, gjelder ikke dette generelt. Vi kan ha en funksjon som er voksende i én del og avtakende i en annen, så lenge de to delene aldri «treffer» samme $y$ -verdier.

Moteksempel: La $f$ være definert ved:

f(x) = \begin{cases} x, & x \in [0, 1] \\ 5-x, & x \in [2, 3] \end{cases}

På $[0, 1]$ er funksjonen voksende og har verdimengde $[0, 1]$ .
På $[2, 3]$ er funksjonen avtakende og har verdimengde $[2, 3]$ .

Siden de to verdimengdene er helt adskilte, vil ingen horisontal linje treffe grafen to ganger. Funksjonen er injektiv og har derfor en omvendt funksjon, til tross for at den ikke er monoton over hele definisjonsmengden.

Påstanden stemmer ikke.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling. Dersom en kandidat argumenterer med utgangspunkt i funksjoner med åpne intervaller, kan det gis full uttelling.

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling. Dersom en kandidat argumenterer med utgangspunkt i kontinuerlige funksjoner, kan det gis full uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Logaritmer, Derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Avgjør påstander om funksjoner

Sync på tvers av enheter

Avgjør påstander om funksjoner

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave