Aritmetiske og geometriske rekker h24

Finn summen av den aritmetiske rekken $3 + 7 + 11 + 15 + \dots + 399$ .

Bestem kvotienten $k$ for en uendelig geometrisk rekke som konvergerer og som har $a_{1} = 12$ og sum $= 18$ .

Vis at tallet $0,75757575 \dots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Bruk dette til å vise at $1,75757575 \dots = \frac{58}{33}$ .

Fasit

20 100

$\frac{1}{3}$

$0,75757575 \dots = \frac{25}{33}$ , og dermed $1,75757575 \dots = 1 + \frac{25}{33} = \frac{58}{33}$ .

Løsningsforslag

Summen av en aritmetisk rekke er gitt ved

s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Vi ser at differansen $d = 4$ . For å finne ut hvor mange ledd det er i rekka vår kan vi løse

3 + (n - 1) \cdot 4 = 399 ⟹ n - 1 = \frac{399 - 3}{4} ⟹ n = 100

Summen av de 100 første leddene blir altså

s_{100} = \frac{3 + 399}{2} \cdot 100 = \frac{402}{2} \cdot 100 = 201 \cdot 100 = 20 100

Vi vet at summen av en uendelig geometrisk rekke som konvergerer er

s = \frac{a_{1}}{1 - k} ⟺ 1 - k = \frac{a_{1}}{s} ⟺ k = 1 - \frac{a_{1}}{s}

Vi setter inn verdiene i uttrykket for $k$

k = 1 - \frac{12}{18} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

Vi kan omskrive tallet som summen av en uendelig rekke med ledd på denne måten $0,75757575 \dots = 0,75 + 0,0075 + 0,000075 + \dots$

Hvert av disse leddene kan vi skrive om som brøker

\begin{matrix} 0,75 & = \frac{3}{4} \\ 0,0075 & = \frac{\frac{3}{4}}{100} = \frac{3}{400} \\ 0,000075 & = \frac{\frac{3}{4}}{10000} = \frac{3}{40000} \end{matrix}

Vi ser et mønster hvor hvert ledd er $\frac{1}{100}$ av det forrige, altså har vi

\frac{3}{4} + \frac{3}{400} + \frac{3}{40000} + \dots = \frac{3}{4 \cdot 100^{0}} + \frac{3}{4 \cdot 100^{1}} + \frac{3}{4 \cdot 100^{2}} + \dots

Vi har altså vist at $0,75757575 \dots$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke, og med sumnotasjon blir rekka

\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \frac{3}{4 \cdot 100^{i - 1}} = 0,75757575 \dots

Denne uendelig geometrisk rekka har $a_{1} = \frac{3}{4}$ og $k = \frac{1}{100}$ . Summen av rekka er gitt ved

s = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{99}{100}} = \frac{300}{396} = \frac{75}{99} = \frac{25}{33}

Siden vi nå vet at $0,75757575 + \dots = \frac{25}{33}$ så kan vi vise følgende

1,75757575 \dots = 1 + 0,75757575 \dots = 1 + \frac{25}{33} = \frac{58}{33}

Vi har altså vist at $1,75757575 \dots = \frac{58}{33}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som finner riktig antall ledd kan få ett poeng.

Riktig strategi, men feil utregning, kan gi 1 poeng.

1 poeng for å sette opp riktig geometrisk rekke og 1 poeng for å regne ut verdien.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Uendelig rekke, Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Innstillinger