Arealfunksjon T(a) for trekant OAB under tangent til parabel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 1 - x^{2}, D_{f} = [0, 1]

La $a \in ⟨ 0, 1 ⟩$ og $O$ være origo. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $P (a, f (a))$ skjærer $x$ -aksen i punktet $A$ og $y$ -aksen i punktet $B$ som vist på figuren.

Grafen til f med tangenten i P som skjærer x-aksen i A og y-aksen i B, og trekanten OAB skravert

For hånd

Vis at arealet $T$ til $△ O A B$ er gitt ved

T (a) = \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{4 a}

Kalkulator

Bestem det minste arealet $△ O A B$ kan ha.

Fasit

Se utledning i løsningsforslaget.

$T_{\min} = \frac{4 \sqrt{3}}{9} \approx 0,770$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først den deriverte av $f$ :

f (x) = 1 - x^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = - 2 x

I punktet $P (a, f (a))$ er stigningstallet til tangenten $f^{'} (a) = - 2 a$ , og $f (a) = 1 - a^{2}$ . Tangentlikningen blir dermed

\begin{matrix} y & = f (a) + f^{'} (a) \cdot (x - a) \\ y & = (1 - a^{2}) - 2 a (x - a) \\ y & = 1 - a^{2} - 2 a x + 2 a^{2} \\ y & = 1 + a^{2} - 2 a x \end{matrix}

Skjæring med $x$ -aksen (punktet $A$ ): Setter $y = 0$ :

\begin{matrix} 0 & = 1 + a^{2} - 2 a x \\ 2 a x & = 1 + a^{2} \\ x & = \frac{1 + a^{2}}{2 a} \end{matrix}

Altså $A (\frac{1 + a^{2}}{2 a}, 0)$ .

Skjæring med $y$ -aksen (punktet $B$ ): Setter $x = 0$ :

y = 1 + a^{2} - 2 a \cdot 0 = 1 + a^{2}

Altså $B (0, 1 + a^{2})$ .

Trekanten $△ O A B$ er rettvinklet med kateter $O A$ og $O B$ langs aksene. Arealet blir

T (a) = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + a^{2}}{2 a} \cdot (1 + a^{2}) = \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{4 a}

som er det vi skulle vise. $■$

Vi skal minimere $T (a) = \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{4 a}$ for $a \in ⟨ 0, 1 ⟩$ . Vi deriverer med kvotientregelen, med $u = {(a^{2} + 1)}^{2}$ og $v = 4 a$ :

u^{'} = 2 (a^{2} + 1) \cdot 2 a = 4 a (a^{2} + 1), v^{'} = 4

T^{'} (a) = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{4 a (a^{2} + 1) \cdot 4 a - {(a^{2} + 1)}^{2} \cdot 4}{16 a^{2}} = \frac{4 (a^{2} + 1) [4 a^{2} - (a^{2} + 1)]}{16 a^{2}} = \frac{(a^{2} + 1) (3 a^{2} - 1)}{4 a^{2}}

Dette bekreftes med CAS:

CAS-utregning av T(a), T'(a), nullpunkt og minste areal

Siden $a^{2} + 1 > 0$ og $4 a^{2} > 0$ for alle $a$ i det aktuelle intervallet, er $T^{'} (a) = 0$ når

3 a^{2} - 1 = 0 \Rightarrow a^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577

(den negative løsningen $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ligger utenfor $⟨ 0, 1 ⟩$ og forkastes).

For $0 < a < \frac{\sqrt{3}}{3}$ er $3 a^{2} - 1 < 0$ , så $T^{'} (a) < 0$ (avtagende), og for $a > \frac{\sqrt{3}}{3}$ er $3 a^{2} - 1 > 0$ , så $T^{'} (a) > 0$ (voksende). Dermed har $T$ et minimum i $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Minste areal er

T (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{9} \approx 0,770

Det minste arealet $△ O A B$ kan ha, er $T_{\min} = \frac{4 \sqrt{3}}{9} \approx 0,770$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2022, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Tangent, Optimering, Areal og omkrets

Arealfunksjon T(a) for trekant OAB under tangent til parabel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Arealfunksjon T(a) for trekant OAB under tangent til parabel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Arealfunksjon T(a) for trekant OAB under tangent til parabel

Arealfunksjon T(a) for trekant OAB under tangent til parabel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer