Annuitetslån og aksjefond med sparing som alternativ

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I starten av et år vurderer Lise å låne 100 000 kroner for å investere i et aksjefond. Lånet er et annuitetslån, og hun må betale 16 274,54 kroner i slutten av hvert år i 10 år for å nedbetale hele lånet, første gang ett år etter låneopptaket.

Vis at den årlige renten er på 10 %.

Banken hevder at dersom aksjene har en årlig verdiøkning på 12 %, vil hun sitte igjen med en solid fortjeneste på aksjene.

Bestem verdien av aksjene i slutten av det 10. året.

Hennes netto fortjeneste etter 10 år er differansen mellom verdien av det hun har betalt på lånet, og verdien av aksjene.

Vis at hennes netto fortjeneste etter 10 år vil være 51 210,57 kroner.

I stedet for å ta opp dette lånet for å kjøpe aksjer vurderer Lise heller å spare. I slutten av hvert år vil hun sette 16 274,54 kroner inn på en konto med en fast årlig rente. Det første beløpet setter hun inn om ett år.

Hva må sparerenten være for at hun skal ha like mye penger i banken om 10 år som verdien av aksjene i oppgave b)?

Fasit

Annuitetsformelen gir $r = 10 \,\%$ (vist ved innsetting)

$\underline{\underline{310\,584{,}82 \, \mathrm{kr}}}$ ; netto fortjeneste $\underline{\underline{51\,210{,}57 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{p \approx 13{,}73 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS brukes til alle beregningene. Se linjene i utklippet nedenfor.

GeoGebra CAS – annuitetslån og sparing

Vi bruker annuitetsformelen

T = L \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}

der $T = 16\,274{,}54$ , $L = 100\,000$ og $n = 10$ . Vi løser for $r$ :

100\,000 \cdot \frac{r(1+r)^{10}}{(1+r)^{10} - 1} = 16\,274{,}54

I GeoGebra CAS (linje 4) finner vi $k = 0{,}1$ , altså $r = 10 \,\%$ .

Vi kan også verifisere ved å sette inn $r = 0{,}1$ direkte:

T = 100\,000 \cdot \frac{0{,}1 \cdot 1{,}1^{10}}{1{,}1^{10} - 1} = 100\,000 \cdot \frac{0{,}1 \cdot 2{,}5937\ldots}{2{,}5937\ldots - 1} \approx 16\,274{,}54 \, \mathrm{kr}

Den årlige renten er $\underline{\underline{10 \,\%}}$ .

Aksjene er kjøpt for $100\,000 \, \mathrm{kr}$ og vokser med $12 \,\%$ per år i 10 år:

\text{AksjeVerdi} = 100\,000 \cdot 1{,}12^{10} \approx 310\,584{,}82 \, \mathrm{kr}

(linje 5 i CAS-utklippet).

Lise betaler terminbeløpet $T = 16\,274{,}54 \, \mathrm{kr}$ hvert år. Dersom disse betalingene i stedet hadde blitt satt inn på en konto med $10 \,\%$ rente, ville den samlede fremtidsverdien av betalingene vært (linje 6):

\text{FV}_{\text{betalinger}} = 16\,274{,}54 \cdot \frac{1{,}1^{10} - 1}{0{,}1} \approx 259\,374{,}25 \, \mathrm{kr}

Netto fortjeneste er differansen mellom verdien av aksjene og fremtidsverdien av betalingene (linje 7):

\text{Netto fortjeneste} = 310\,584{,}82 - 259\,374{,}25 \approx 51\,210{,}57 \, \mathrm{kr}

Verdien av aksjene etter 10 år er $\underline{\underline{310\,584{,}82 \, \mathrm{kr}}}$ , og netto fortjeneste er $\underline{\underline{51\,210{,}57 \, \mathrm{kr}}}$ .

Lise setter inn $T = 16\,274{,}54 \, \mathrm{kr}$ ved slutten av hvert år i 10 år på en sparekonto med fast årlig rente $p$ . Vi bruker fremtidsverdien av en annuitet (geometrisk rekke):

S = T \cdot \frac{(1+p)^{10} - 1}{p}

Vi setter $S$ lik aksjeverdien fra b) og løser for $p$ (linje 8 i CAS-utklippet):

16\,274{,}54 \cdot \frac{(1+p)^{10} - 1}{p} = 310\,584{,}82

GeoGebra gir $p \approx 0{,}13729$ , altså omtrent $13{,}73 \,\%$ .

Sparerenten må være omtrent $\underline{\underline{p \approx 13{,}73 \,\%}}$ for at hun skal ha like mye i banken etter 10 år som verdien av aksjene.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Annuitetslån, Sparing, Geometrisk rekke, Rente

Annuitetslån og aksjefond med sparing som alternativ

Sync på tvers av enheter

Annuitetslån og aksjefond med sparing som alternativ

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave