Algoritme for figurmønster med små kvadrater

Tre figurer av små kvadrater i et katte-aktig mønster — Figur 1 er minst, Figur 3 er størst

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater.

Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Oppsett for hånd

Lag en algoritme som du kan bruke til å bestemme hvor mange små kvadrater du totalt trenger for å lage de $100$ første figurene.

Oppsett for hånd

Bruk algoritmen og bestem hvor mange små kvadrater du trenger.

Fasit

Se algoritmen under.

$692 050 kvadrater$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall kvadrater i de tre figurene:

Vi kan dele opp figuren i tre deler som vokser med figurens nummer $n$ :

Hode (øverst til venstre): et $n \times n$ -kvadrat med $n^{2}$ kvadrater
Kropp (midtre rektangel): et $n \times (n + 2)$ -rektangel med $n (n + 2) = n^{2} + 2 n$ kvadrater
Hale og bein (trapp oppe til høyre og bein nede): $n + 2$ kvadrater

Antall kvadrater i figur $n$ er:

f (n) = n^{2} + n (n + 2) + (n + 2) = 2 n^{2} + 3 n + 2

Vi sjekker: $f (1) = 2 + 3 + 2 = 7$ , $f (2) = 8 + 6 + 2 = 16$ , $f (3) = 18 + 9 + 2 = 29$ . ✓

Algoritme (pseudokode):

sum ← 0
for n from 1 to 100:
    antall ← 2·n² + 3·n + 2
    sum ← sum + antall
print sum

Eller som Python-program:

sum = 0
for n in range(1, 101):
    antall = 2*n**2 + 3*n + 2
    sum = sum + antall
print(sum)

Vi bruker algoritmen og summerer for $n = 1, 2, \dots, 100$ :

\sum_{n = 1}^{100} f (n) = \sum_{n = 1}^{100} (2 n^{2} + 3 n + 2)

= 2 \cdot \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} + 3 \cdot \frac{100 \cdot 101}{2} + 2 \cdot 100

= 2 \cdot 338 350 + 3 \cdot 5 050 + 200

= 676 700 + 15 150 + 200 = 692 050

Du trenger totalt 692 050 kvadrater for å lage de 100 første figurene.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P E2021-1, oppgave 13
Eksamen: Ikke delt i del 1 og del 2 · 5 timer · Hele eksamen, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: Figurtall, Mønstre, Programmering

Innstillinger