Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer en type medisin som selges på flasker. De antar at vekten $X$ av flaskene er normalfordelt med forventningsverdi $250{,}0 \mathrm{~g}$ og standardavvik $3{,}0 \mathrm{~g}$ . Bedriften sier at en flaske veier for lite når den veier mindre enn $245{,}0 \mathrm{~g}$ .

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig flaske veier for lite.

Flaskene blir pakket i esker. Hver eske inneholder 15 flasker. La $Y$ være antall flasker som veier for lite, i en tilfeldig valgt eske. Da er $Y$ binomisk fordelt.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt eske skal inneholde én eller flere flasker som veier for lite.

Bedriften har som målsetting at maksimalt 10 % av eskene skal ha flasker som veier for lite. For å nå dette målet må de justere forventningsverdien til $X$ . Vi antar at standardavviket forblir uforandret ved justeringen.

Grunngi at sannsynligheten for at en flaske veier for lite, må være høyst $0{,}70 \%$ dersom de skal kunne nå målsettingen.

Hva må forventningsverdien til $X$ være for at kravet i oppgave c) skal bli oppfylt?

Fasit

$\underline{\underline{P(X < 245) \approx 4{,}8 \,\%}}$

$\underline{\underline{P(Y \geq 1) \approx 52 \,\%}}$

$\underline{\underline{p \leq 0{,}70 \,\%}}$

$\underline{\underline{\mu \approx 252{,}4 \, \mathrm{g}}}$

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 250{,}0$ og standardavvik $\sigma = 3{,}0$ .

Vi standardiserer og bruker normalfordelingstabellen eller GeoGebra:

z = \frac{245 - 250}{3} = -1{,}667

P(X < 245) = \Phi(-1{,}667) \approx 0{,}0478

Sannsynligheten for at en tilfeldig flaske veier for lite, er $\underline{\underline{\approx 4{,}8 \,\%}}$ .

$Y$ er binomisk fordelt med $n = 15$ og $p = 0{,}0478$ .

P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (1 - 0{,}0478)^{15}

Se linje 2 i CAS-utklippet:

P(Y \geq 1) = 1 - 0{,}9522^{15} \approx 0{,}520

Sannsynligheten for at en tilfeldig eske inneholder én eller flere for lette flasker, er $\underline{\underline{\approx 52 \,\%}}$ .

Målsettingen er at høyst $10 \,\%$ av eskene skal ha flasker som veier for lite, det vil si:

P(Y \geq 1) \leq 0{,}10

Siden $P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - (1 - p)^{15}$ , gir dette:

1 - (1-p)^{15} \leq 0{,}10

(1-p)^{15} \geq 0{,}90

1 - p \geq 0{,}90^{\frac{1}{15}}

p \leq 1 - 0{,}90^{\frac{1}{15}}

Se linje 3 i CAS-utklippet:

p \leq 1 - 0{,}90^{\frac{1}{15}} \approx 0{,}0070 = 0{,}70 \,\%

For å nå målsettingen må sannsynligheten for at én flaske veier for lite, være høyst $\underline{\underline{0{,}70 \,\%}}$ .

Vi krever $P(X < 245) = 0{,}0070$ . Vi standardiserer:

\frac{245 - \mu}{3} = z_{0{,}0070}

Der $z_{0{,}0070}$ er den $z$ -verdien som gir $\Phi(z) = 0{,}0070$ . Fra invers normalfordeling:

z_{0{,}0070} = \Phi^{-1}(0{,}0070) \approx -2{,}457

Løser for $\mu$ (se linje 4 i CAS-utklippet):

\mu = 245 + 3 \cdot 2{,}457 \approx 252{,}4 \, \mathrm{g}

Forventningsverdien til $X$ må økes til $\underline{\underline{\approx 252{,}4 \, \mathrm{g}}}$ for at kravet skal bli oppfylt.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2018, del 2, oppgave 3
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Normalfordeling, Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi

Sync på tvers av enheter

Normalfordelt flaskevekt og justert forventningsverdi

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave