Normalfordelt vekt av rugbrød

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Baker Nilsen lager rugbrød. Vi går ut fra at vekten av rugbrødene er normalfordelt med $\mu = 1{,}00 \mathrm{~kg}$ og $\sigma = 0{,}05 \mathrm{~kg}$ .

Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt rugbrød veier mellom $0{,}90 \mathrm{~kg}$ og $1{,}10 \mathrm{~kg}$ .

Rugbrødene sendes til butikkene på paller med 100 rugbrød på hver pall.

Bestem sannsynligheten for at vekten av rugbrødene på en tilfeldig pall er mellom $99{,}5 \mathrm{~kg}$ og $100{,}5 \mathrm{~kg}$ .

Fasit

$P(0{,}90 < X < 1{,}10) \approx 0{,}9545$

$P(99{,}5 < S < 100{,}5) \approx 0{,}6827$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være vekten av ett tilfeldig valgt rugbrød. $X$ er normalfordelt med $\mu = 1{,}00 \mathrm{~kg}$ og $\sigma = 0{,}05 \mathrm{~kg}$ .

Vi standardiserer grenseverdiene:

z_1 = \frac{0{,}90 - 1{,}00}{0{,}05} = \frac{-0{,}10}{0{,}05} = -2

z_2 = \frac{1{,}10 - 1{,}00}{0{,}05} = \frac{0{,}10}{0{,}05} = 2

Vi får da:

P(0{,}90 < X < 1{,}10) = P(-2 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-2)

Fra $z$ -tabellen:

\Phi(2) = 0{,}9772 \qquad \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228

P(-2 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = \mathbf{\underline{\underline{0{,}9545}}}

Sannsynligheten er omtrent $95{,}4 \,\%$ . Dette tilsvarer at brødet er innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet.

La $S$ være den totale vekten av 100 rugbrød på en pall.

Siden brødene er uavhengige, gjelder:

\text{E}(S) = 100 \cdot \mu = 100 \cdot 1{,}00 = 100 \mathrm{~kg}

\text{SD}(S) = \sqrt{100} \cdot \sigma = 10 \cdot 0{,}05 = 0{,}5 \mathrm{~kg}

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu_S = 100$ og $\sigma_S = 0{,}5$ .

Vi standardiserer grenseverdiene:

z_3 = \frac{99{,}5 - 100}{0{,}5} = \frac{-0{,}5}{0{,}5} = -1

z_4 = \frac{100{,}5 - 100}{0{,}5} = \frac{0{,}5}{0{,}5} = 1

Vi får da:

P(99{,}5 < S < 100{,}5) = P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)

Fra $z$ -tabellen:

\Phi(1) = 0{,}8413 \qquad \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587

P(-1 < Z < 1) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = \mathbf{\underline{\underline{0{,}6827}}}

Sannsynligheten er omtrent $68{,}3 \,\%$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2018, del 1, oppgave 8
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Sannsynlighet

Normalfordelt vekt av rugbrød

Sync på tvers av enheter

Normalfordelt vekt av rugbrød

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave