Vi deriverer $f(x) = \dfrac{6}{1+e^{-x}}$ ved kvotientregelen. Det er praktisk å skrive $f(x) = 6\cdot(1+e^{-x})^{-1}$ og bruke kjerneregelen:

Vi ser at:

• Telleren $6e^{-x} > 0$ for alle $x$ (eksponentialfunksjonen er alltid positiv).
• Nevneren $(1+e^{-x})^2 > 0$ for alle $x$ (et kvadrat av et positivt tall).

Dermed er $f'(x) > 0$ for alle $x$, og grafen til $f$ er alltid stigende.

Siden $e^{-x} > 0$ for alle $x$, er nevneren $1 + e^{-x} > 1 > 0$.

Dermed er $f(x) = \dfrac{6}{1+e^{-x}} < \dfrac{6}{1} = 6$.

Siden nevneren $1 + e^{-x} > 1$, er $f(x) < 6$.

Siden teller og nevner begge er positive, er $f(x) > 0$.

Altså er $\mathbf{0 < f(x) < 6}$ for alle verdier av $x$.

(Når $x \to -\infty$ nærmer $f(x)$ seg $0$, og når $x \to +\infty$ nærmer $f(x)$ seg $6$. Linjene $y = 0$ og $y = 6$ er horisontale asymptoter.)

Vi finner andrederivert. Fra a) er $f'(x) = 6e^{-x}(1+e^{-x})^{-2}$.

Vi deriverer ved produktregelen:

Vi setter $f''(x) = 0$:

Telleren $6e^{-x}(e^{-x}-1) = 0$ gir (siden $e^{-x} \neq 0$):

Fortegnsskifte: For $x < 0$ er $e^{-x} > 1$, så $(e^{-x}-1) > 0$, altså $f''(x) > 0$ (konveks). For $x > 0$ er $e^{-x} < 1$, så $(e^{-x}-1) < 0$, altså $f''(x) < 0$ (konkav). Det er et fortegnsskifte, så $x = 0$ er et vendepunkt.

Funksjonsverdien er:

Grafen til $f$ har vendepunkt i $\underline{\underline{(0,\, 3)}}$.

Grafen til $f$ har S-form (logistisk kurve): den er alltid stigende, nærmer seg $y = 0$ fra oven for store negative $x$-verdier, og nærmer seg $y = 6$ nedenfra for store positive $x$-verdier. Vendepunktet er i $(0, 3)$, der grafen skifter fra å være konveks til konkav.