Grenseinntekt og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Ved en markedsanalyse har de funnet ut at når prisen er $p$ kroner per enhet, får de solgt $x$ enheter av varen slik tabellen viser.

$x$	98	510	751	990
$p$	2200	2100	2050	2000

Bruk lineær regresjon til å bestemme et uttrykk $p(x)$ for prisen $p$ . Bruk dette til å bestemme et uttrykk $I(x)$ for inntektsfunksjonen $I$ .

Bedriften har funnet ut at kostnadene $K(x)$ (målt i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter er gitt ved

K(x) = 0{,}03x^2 + 15x + 605\ 000

Bestem grenseinntektene og grensekostnadene ved produksjon og salg av 3 000 enheter. Forklar hvordan vi ut fra dette kan avgjøre om bedriften bør øke eller redusere produksjonsmengden.

Løs ulikheten $I'(x) > K'(x)$ . Hva forteller svaret oss?

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

$p(x) \approx -0{,}224x + 2219$ , $\quad I(x) \approx -0{,}2242x^2 + 2219{,}17x$

$I'(3000) \approx 874$ kr, $\quad K'(3000) = 195$ kr. Siden grenseinntekten er større enn grensekostnaden, bør bedriften øke produksjonen.

$I'(x) > K'(x)$ for $x < 4335$ . Så lenge produksjonen er under ca. 4 335 enheter, øker overskuddet ved å produsere én enhet til.

Maksimalt overskudd ved $x \approx 4335$ enheter.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker lineær regresjon på datapunktene fra tabellen:

$x$	98	510	751	990
$p$	2200	2100	2050	2000

Lineær regresjon gir

p(x) \approx -0{,}2242x + 2219{,}17 \approx -0{,}224x + 2219

Inntektsfunksjonen er $I(x) = x \cdot p(x)$ :

I(x) = x(-0{,}2242x + 2219{,}17) = -0{,}2242x^2 + 2219{,}17x

Vi deriverer inntektsfunksjonen og kostnadsfunksjonen:

I'(x) = -0{,}4484x + 2219{,}17

K'(x) = 0{,}06x + 15

Grenseinntekt ved $x = 3000$ :

I'(3000) = -0{,}4484 \cdot 3000 + 2219{,}17 = -1345{,}2 + 2219{,}17 \approx 874 \text{ kr}

Grensekostnad ved $x = 3000$ :

K'(3000) = 0{,}06 \cdot 3000 + 15 = 180 + 15 = 195 \text{ kr}

Siden grenseinntekten ( $874$ kr) er større enn grensekostnaden ( $195$ kr), vil én ekstra enhet gi mye mer i inntekt enn den koster å produsere. Bedriften bør øke produksjonen.

Vi løser ulikheten $I'(x) > K'(x)$ :

-0{,}4484x + 2219{,}17 > 0{,}06x + 15

2219{,}17 - 15 > 0{,}06x + 0{,}4484x

2204{,}17 > 0{,}5084x

x < \frac{2204{,}17}{0{,}5084} \approx 4335

Ulikheten $I'(x) > K'(x)$ gjelder for $x < 4335$ .

Tolkning: Så lenge bedriften produserer færre enn ca. 4 335 enheter, er grenseinntekten større enn grensekostnaden — det vil si at hver ekstra enhet gir mer inntekt enn den koster. Det lønner seg å øke produksjonen inntil $x \approx 4335$ .

Overskuddet er $O(x) = I(x) - K(x)$ . Maksimalt overskudd oppnås når $O'(x) = 0$ , det vil si når $I'(x) = K'(x)$ :

-0{,}4484x + 2219{,}17 = 0{,}06x + 15

2204{,}17 = 0{,}5084x

x = \frac{2204{,}17}{0{,}5084} \approx 4335

Bedriften bør produsere og selge ca. 4 335 enheter for å maksimere overskuddet.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2014, del 2, oppgave 3
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi, Regresjon, Ulikheter, Optimering

Grenseinntekt og grensekostnad

Sync på tvers av enheter

Grenseinntekt og grensekostnad

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave