Binomiske fordelinger og histogrammer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurene nedenfor viser fordelingene til de fire binomiske variablene $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ og $X_4$ .

Vi får opplyst at

$X_1$ har 10 delforsøk og $p = 0{,}6$ er sannsynligheten for suksess.
$X_2$ har 100 delforsøk og $p = 0{,}06$ er sannsynligheten for suksess.
$X_3$ har 10 delforsøk og $p = 0{,}4$ er sannsynligheten for suksess.
$X_4$ har 50 delforsøk og $p = 0{,}1$ er sannsynligheten for suksess.

Fire histogrammer for binomiske fordelinger

Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer $X_1$ ? Avgjør også hvilken grafisk framstilling som illustrerer henholdsvis $X_2$ , $X_3$ og $X_4$ . Begrunn svarene.

For den ene variabelen er $P(X \geq 10) = 0{,}0775$ . Hvilken variabel er dette?

Hvilken av de fire binomiske variablene har størst standardavvik?

Fasit

Graf (2) illustrerer $X_1$ , graf (4) illustrerer $X_3$ , graf (1) illustrerer $X_4$ , graf (3) illustrerer $X_2$ .

$P(X \geq 10) = 0{,}0775$ gjelder $X_2$ .

$X_2$ har størst standardavvik: $\text{SD}(X_2) \approx 2{,}37$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker forventningsverdien $\text{E}(X) = np$ og antall mulige verdier ( $0, 1, \ldots, n$ ) til å identifisere histogrammene.

Variabel	$n$	$p$	$\text{E}(X) = np$	Mulige verdier
$X_1$	10	0,6	6	0–10
$X_2$	100	0,06	6	0–100 (spredt over mange verdier)
$X_3$	10	0,4	4	0–10
$X_4$	50	0,1	5	0–50 (spredt over mange verdier)

Skille mellom grafene:

Graf (2) og (4) har $x$ -akse fra 0 til 10 — disse passer $X_1$ og $X_3$ som begge har $n = 10$ .

Graf (2) har topp ved $x \approx 6$ , noe som passer $\text{E}(X_1) = 10 \cdot 0{,}6 = \mathbf{6}$ $\Rightarrow$ graf (2) er $X_1$
Graf (4) har topp ved $x \approx 4$ , noe som passer $\text{E}(X_3) = 10 \cdot 0{,}4 = \mathbf{4}$ $\Rightarrow$ graf (4) er $X_3$

Graf (1) og (3) strekker seg over flere verdier — disse passer $X_2$ og $X_4$ .

Graf (1) har topp ved $x \approx 5$ , noe som passer $\text{E}(X_4) = 50 \cdot 0{,}1 = \mathbf{5}$ $\Rightarrow$ graf (1) er $X_4$
Graf (3) har topp ved $x \approx 6$ , noe som passer $\text{E}(X_2) = 100 \cdot 0{,}06 = \mathbf{6}$ $\Rightarrow$ graf (3) er $X_2$

Vi beregner $P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 9)$ for hver variabel.

For $X_1$ (n=10, p=0,6): $P(X_1 \geq 10) = P(X_1 = 10) = 0{,}6^{10} \approx 0{,}0060$

For $X_3$ (n=10, p=0,4): $P(X_3 \geq 10) = P(X_3 = 10) = 0{,}4^{10} \approx 0{,}0001$

For $X_4$ (n=50, p=0,1): $P(X_4 \geq 10) \approx 0{,}0245$

For $X_2$ (n=100, p=0,06): $P(X_2 \geq 10) \approx 0{,}0775$ ✓

$\underline{\underline{X_2}}$ er variabelen med $P(X \geq 10) = 0{,}0775$ .

Standardavviket for en binomisk fordelt variabel er $\text{SD}(X) = \sqrt{np(1-p)}$ .

\text{SD}(X_1) = \sqrt{10 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}4} = \sqrt{2{,}4} \approx 1{,}55

\text{SD}(X_2) = \sqrt{100 \cdot 0{,}06 \cdot 0{,}94} = \sqrt{5{,}64} \approx \mathbf{2{,}37}

\text{SD}(X_3) = \sqrt{10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{2{,}4} \approx 1{,}55

\text{SD}(X_4) = \sqrt{50 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9} = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12

$\underline{\underline{X_2}}$ har størst standardavvik med $\text{SD}(X_2) \approx 2{,}37$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2014, del 1, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Binomisk fordeling, Diagram, Statistikk, Forventningsverdi, Varians

Binomiske fordelinger og histogrammer

Sync på tvers av enheter

Binomiske fordelinger og histogrammer

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave