Integral med ukjent grense

Bestem $x$ når

\int_{-1}^{x} \left( 3t^{2}-1 \right) \, \mathrm{d}t = 0, \quad x>-1

Gi en praktisk tolkning av svaret i oppgave b).

Fasit

$x=0 \vee x=1$

Løsningsforslag

Vi setter opp likningen og løser

\begin{aligned} \int _{-1}^{x} \left( 3t^{2}-1 \right) \, \mathrm{d}t &= 0 \\ \left[ t^{3}-t \right]_{-1}^{x} &= 0\\ \left( x^{3}-x \right) -\left( (-1)^{3}-(-1) \right) &=0\\ \left( x^{3}-x \right) - \left( -1+1 \right) &=0\\ \left( x^{3}-x \right) - 0 &=0\\ x^{3}-x&=0\\ x(x^{2}-1)&=0 \end{aligned}

Denne likningen har tre løsninger: $x=0 \vee x=-1 \vee x=1$ . Vi forkaster løsningen $x=-1$ siden vi har fått oppgitt at $x>-1$ i oppgaveteksten.

\underline{\underline{x=0 \vee x=1}}

Når det bestemte integralet er lik null, er det like mye areal over og under $x$ -aksen.

For $x=0$ betyr det at arealet over aksen (fra $t=-1$ til det første nullpunktet) utlignes av arealet under aksen (fra nullpunktet til $t=0$ ).
For $x=1$ betyr det at det totale arealet over aksen i intervallet $[-1, 1]$ er lik arealet under aksen i samme intervall.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Riktig bestemt integral uten å løse likningen kan gi 1 poeng.

En upresis tolkning kan gi 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidaten koble areal til løsningene.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2024, del 1, oppgave 1b-c
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Likninger, Bestemt integral, Tolkning av integraler
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Sync på tvers av enheter