Aritmetisk rekke og figurtall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk sumformelen for en aritmetisk rekke til å finne et uttrykk for summen

1 + 2 + 3 + \ldots + n

Vis hvordan du kan argumentere for resultatet i oppgave a) ved å bruke figuren nedenfor.

Figurtall med røde og grå kuler

Fasit

$1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Figuren viser et rektangel med $n$ rader og $n+1$ kolonner. De røde kulene utgjør summen $1+2+\ldots+n$ , og de grå kulene er en speilvendt kopi av det samme. Til sammen fyller de hele rektangelet med $n(n+1)$ kuler, så $1+2+\ldots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ er en aritmetisk rekke med

a_1 = 1, \quad a_n = n, \quad \text{og } n \text{ ledd.}

Sumformelen for en aritmetisk rekke er

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

Vi setter inn:

S_n = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n(n+1)}{2}

Figuren viser et rektangel med $n$ rader og $n+1$ kolonner, totalt $n(n+1)$ kuler.

En trappelinje deler rektangelet i to like store deler:

De røde kulene danner et trappemønster der rad 1 har 1 kule, rad 2 har 2 kuler, …, rad $n$ har $n$ kuler. Antall røde kuler er $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ .
De grå kulene er en speilvendt kopi av de røde og har nøyaktig like mange kuler.

Siden røde og grå kuler til sammen fyller hele rektangelet, har vi

2 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + n) = n(n+1)

og dermed

1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}

Dette stemmer med svaret i oppgave a).

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2016, del 1, oppgave 5
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rekker, Figurtall, Argumentasjon

Aritmetisk rekke og figurtall

Sync på tvers av enheter

Aritmetisk rekke og figurtall

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave