Normalfordeling for juicekartonger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk produserer juice i kartonger. Hver kartong skal inneholde ca. 0,33 L juice. I denne oppgaven tenker vi at innholdet i boksene er normalfordelt med forventningsverdi 0,33 L og standardavvik på 0,03 L.

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong inneholder mer enn 0,36 L?

Hvor mange prosent av kartongene vil inneholde mellom 0,32 L og 0,34 L?

I en kvalitetskontroll inneholdt 25 tilfeldige kartonger gjennomsnittlig 0,292 L juice.

Sett opp hypoteser og vurder om bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Bedriften synes det er uheldig at så mange kunder får for lite juice i kartongene. De kan ikke gjøre noe med standardavviket, siden det er bestemt av produksjonsutstyret. Likevel ønsker de at ca. 90 % av alle kartongene skal inneholde mer enn 0,32 L juice. Dette kan de få til ved å i snitt tappe mer juice på hver kartong.

Hva må forventningsverdien være for å få dette til?

Fasit

$P(X > 0{,}36) \approx 15{,}9 \,\%$

$P(0{,}32 < X < 0{,}34) \approx 26{,}1 \,\%$

$p\text{-verdi} \approx 1{,}2 \cdot 10^{-10} < 0{,}05$ — forkast $H_0$ . Bedriften tapper i snitt for lite juice.

$\mu \approx 0{,}359 \mathrm{~L}$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være innholdet (i liter) i en tilfeldig valgt kartong. $X$ er normalfordelt med $\mu = 0{,}33$ og $\sigma = 0{,}03$ .

Vi standardiserer ved å trekke fra forventningsverdien og dele på standardavviket:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 0{,}33}{0{,}03}

P(X > 0{,}36) = P\!\left(Z > \frac{0{,}36 - 0{,}33}{0{,}03}\right) = P(Z > 1) = 1 - \Phi(1)

Fra standard normalfordelingstabell er $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ , så

P(X > 0{,}36) = 1 - 0{,}8413 \approx \mathbf{0{,}159}

Sannsynligheten er omtrent $\underline{\underline{15{,}9 \,\%}}$ .

Vi standardiserer begge grenser:

P(0{,}32 < X < 0{,}34) = P\!\left(\frac{0{,}32 - 0{,}33}{0{,}03} < Z < \frac{0{,}34 - 0{,}33}{0{,}03}\right) = P\!\left(-\frac{1}{3} < Z < \frac{1}{3}\right)

Fra normalfordelingstabellen er $\Phi(0{,}333) \approx 0{,}6306$ , og ved symmetri er $\Phi(-0{,}333) \approx 0{,}3694$ , så

P(0{,}32 < X < 0{,}34) = 0{,}6306 - 0{,}3694 \approx \mathbf{0{,}261}

Omtrent $\underline{\underline{26{,}1 \,\%}}$ av kartongene vil inneholde mellom 0,32 L og 0,34 L.

Vi setter opp hypoteser:

H_0\colon \mu = 0{,}33 \qquad H_1\colon \mu < 0{,}33

Dette er en ensidig (nedre) hypotesetest med signifikansnivå $\alpha = 0{,}05$ .

Vi har $n = 25$ kartonger med gjennomsnitt $\bar{x} = 0{,}292$ .

Ifølge sentralgrenseteoremet er gjennomsnittet $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 0{,}33$ og standardavvik

\text{SD}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}03}{\sqrt{25}} = \frac{0{,}03}{5} = 0{,}006

Vi beregner $z$ -verdien for det observerte gjennomsnittet:

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\text{SD}(\bar{X})} = \frac{0{,}292 - 0{,}33}{0{,}006} = \frac{-0{,}038}{0{,}006} \approx -6{,}33

$p$ -verdien er

p = P(\bar{X} < 0{,}292) = P(Z < -6{,}33) \approx 1{,}2 \cdot 10^{-10}

Siden $p \approx 1{,}2 \cdot 10^{-10} \ll 0{,}05$ , forkaster vi $H_0$ .

Konklusjon: Vi forkaster nullhypotesen. Det er statistisk grunnlag for å si at bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene.

Vi ønsker at $P(X > 0{,}32) = 0{,}90$ , der $\sigma = 0{,}03$ er uendret men $\mu$ er ukjent.

Vi standardiserer:

P(X > 0{,}32) = P\!\left(Z > \frac{0{,}32 - \mu}{0{,}03}\right) = 0{,}90

Det betyr at

P\!\left(Z < \frac{0{,}32 - \mu}{0{,}03}\right) = 0{,}10

Fra normalfordelingstabellen er $\Phi^{-1}(0{,}10) \approx -1{,}2816$ , så

\frac{0{,}32 - \mu}{0{,}03} = -1{,}2816

0{,}32 - \mu = -1{,}2816 \cdot 0{,}03 = -0{,}03845

\mu = 0{,}32 + 0{,}03845 \approx 0{,}359

Forventningsverdien må være minst $\underline{\underline{\mu \approx 0{,}359 \mathrm{~L}}}$ for at 90 % av kartongene skal inneholde mer enn 0,32 L.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2014, del 2, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, Sentralgrenseteoremet

Normalfordeling for juicekartonger

Sync på tvers av enheter

Normalfordeling for juicekartonger

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave