Geometrisk rekke og sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem et uttrykk for summen $a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2^2} + \ldots + \dfrac{a}{2^{n-1}}$

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2^2} + \dfrac{a}{2^3} + \ldots$

Begrunn hvorfor rekken konvergerer.

Bestem $a$ slik at summen av rekken blir 10.

Fasit

$S_n = 2a\left(1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)$

Rekken konvergerer fordi $|k| = \dfrac{1}{2} < 1$

$a = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $a + \dfrac{a}{2} + \dfrac{a}{2^2} + \ldots + \dfrac{a}{2^{n-1}}$ er en geometrisk rekke med første ledd $a_1 = a$ , kvotient $k = \dfrac{1}{2}$ og $n$ ledd.

Vi bruker formelen for summen av en endelig geometrisk rekke:

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k}

S_n = a \cdot \frac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1 - \dfrac{1}{2}} = a \cdot \frac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{\dfrac{1}{2}} = 2a\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k| < 1$ .

Her er $k = \dfrac{1}{2}$ , og siden $\left|\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} < 1$ konvergerer rekken.

Summen av en konvergerende uendelig geometrisk rekke er:

S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{a}{1 - \dfrac{1}{2}} = \frac{a}{\dfrac{1}{2}} = 2a

Vi setter $S = 10$ :

2a = 10 \implies a = 5

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2014, del 1, oppgave 3
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker

Geometrisk rekke og sum

Sync på tvers av enheter

Geometrisk rekke og sum

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave